Determine se os conjuntos de vetores abaixo são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Justifique.
© S=[ll1 & 1 1 & 0],[ll0 & 1 1 & 1],[ll1 & 0 0 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se um conjunto de três matrizes é linearmente dependente ou linearmente independente. Isso está relacionado à álgebra linear, especificamente ao conceito de combinação linear de vetores (ou matrizes, no nosso caso). Para resolver, vamos precisar entender como verificar se uma matriz pode ser escrita como uma combinação das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas matrizes:
S = 1 & 1 1 & 0 , 0 & 1 1 & 1 , 1 & 0 0 & 1
Temos três matrizes 2x2. Para verificar se elas são linearmente dependentes ou independentes, vamos ver se existe uma combinação linear delas que resulte na matriz zero (todas as entradas iguais a zero), exceto quando todos os coeficientes dessa combinação são zero.

Passo 3

Vamos supor que exista uma combinação linear dessas matrizes que resulte na matriz zero:
c1 1 & 1 1 & 0 + c2 0 & 1 1 & 1 + c3 1 & 0 0 & 1 = 0 & 0 0 & 0
Isso nos dá um sistema de equações baseado nas entradas das matrizes:
  1. Para a posição (1,1):
    c1 cdot 1 + c2 cdot 0 + c3 cdot 1 = 0
    Simplificando:
    c1 + c3 = 0
  2. Para a posição (1,2):
    c1 cdot 1 + c2 cdot 1 + c3 cdot 0 = 0
    Simplificando:
    c1 + c2 = 0
  3. Para a posição (2,1):
    c1 cdot 1 + c2 cdot 1 + c3 cdot 0 = 0
    Simplificando:
    c1 + c2 = 0
  4. Para a posição (2,2):
    c1 cdot 0 + c2 cdot 1 + c3 cdot 1 = 0
    Simplificando:
    c2 + c3 = 0

Passo 4

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
c1 + c3 = 0 c1 + c2 = 0 c1 + c2 = 0 c2 + c3 = 0
Vamos resolver passo a passo:
  1. Da primeira equação: c1 = -c1
  2. Da segunda equação:
  3. Da quarta equação:
Comparando as expressões:
  • De e , temos que .
Mas também sabemos que , então:
Isso só é possível se . Se , então de , temos , e de , também .

Passo 5

Encontramos que a única solução para o sistema é . Isso significa que a única combinação linear das matrizes que resulta na matriz zero é aquela onde todos os coeficientes são zero.

Resposta

O conjunto é linearmente independente, pois a única combinação linear que resulta na matriz zero é quando todos os coeficientes são zero.

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A((x, y, z),(x^prime, y^prime, z^prime))=x y^prime+x z^prime-z y^prime+z z^prime
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