Se sim, encontre a matriz de em relação à base canônica e em relação à base
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma aplicação bilinear definida por
O objetivo é encontrar a matriz que representa em relação à base canônica e à base . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre representações matriciais de aplicações bilineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma aplicação bilinear pode ser representada por uma matriz de forma que
No nosso caso, , então a matriz será .
Passo 3
Para encontrar a matriz de na base canônica, precisamos determinar como atua nos pares de vetores da base canônica. A base canônica de é , onde:
Passo 4
Vamos calcular para todos os de 1 a 3:
Passo 5
Com esses valores, podemos montar a matriz de na base canônica:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a matriz de v1 = (1,1,1), v2 = (1,1,0), v3 = (0,1,0) em relação à base , onde:
Primeiro, precisamos expressar os vetores da base canônica em termos da base .
Passo 7
Vamos montar a matriz de mudança de base de P = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 para a base canônica P^-1 = inversa de P :
P^-1 = 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 0 1 & -1 & -1
A inversa de será usada para mudar de base de canônica para :
Calculando , obtemos:
Passo 8
A matriz de [A]alpha = P^-1 [A]canônica (P^-1)^T na base é dada por: