Seja A: R^3 times R^3 R definida por
A((x, y, z),(x^prime, y^prime, z^prime))=x y^prime+x z^prime-z y^prime+z z^prime
Se sim, encontre a matriz de A em relação à base canônica e em relação à base
alpha=(1,1,1),(1,1,0),(0,1,0)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma aplicação bilinear A( (x, y, z), (x^prime, y^prime, z^prime) ) = x y^prime + x z^prime - z y^prime + z z^prime definida por
O objetivo é encontrar a matriz que representa em relação à base canônica e à base . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre representações matriciais de aplicações bilineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma aplicação bilinear A(u, v) = u^T [A] v pode ser representada por uma matriz de forma que
No nosso caso, , então a matriz será .

Passo 3

Para encontrar a matriz de e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1) na base canônica, precisamos determinar como atua nos pares de vetores da base canônica. A base canônica de é , onde:

Passo 4

Vamos calcular para todos os de 1 a 3:

Passo 5

Com esses valores, podemos montar a matriz de [A]canônica = 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -1 & 1 na base canônica:
ô

Passo 6

Agora, vamos encontrar a matriz de v1 = (1,1,1), v2 = (1,1,0), v3 = (0,1,0) em relação à base , onde:
Primeiro, precisamos expressar os vetores da base canônica em termos da base .

Passo 7

Vamos montar a matriz de mudança de base de P = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 para a base canônica P^-1 = inversa de P :
P^-1 = 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 0 1 & -1 & -1
A inversa de será usada para mudar de base de canônica para :
Calculando , obtemos:

Passo 8

A matriz de [A]alpha = P^-1 [A]canônica (P^-1)^T na base é dada por:
ô
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 9

Primeiro, multiplicamos P^-1 [A]canônica = 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 0 1 & -1 & -1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -1 & 1 = 0 + 0 + 0 & 1(-1) + 1(0) + 1(-1) & 1(1) + 0(0) + 1(1) 0 + 0 + 0 & -1(1) + 0(0) + 0(-1) & -1(1) + 0(0) + 0(1) 0 + 0 + 0 & 1(-1) + (-1)(0) + (-1)(-1) & 1(1) + (-1)(0) + (-1)(1) = 0 & -2 & 2 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 pela matriz canônica de :
ô

Passo 10

Agora, multiplicamos o resultado por [A]alpha = 0 & -2 & 2 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 1 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 1 & 0 & -1 = (0)(1) + (-2)(-1) + (2)(1) & dots & dots (0)(1) + (-1)(-1) + (-1)(1) & dots & dots 0 & 0 & 0 :
[A]alpha = 4 & -2 & 0 0 & 2 & -2 0 & 0 & 0
Calculando todas as entradas, obtemos:

Resposta

A matriz de [A]canônica = 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -1 & 1 em relação à base canônica é
[A]alpha = 4 & -2 & 0 0 & 2 & -2 0 & 0 & 0 ô
E a matriz de em relação à base é

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f) C D+2 B^t.