Determine se os conjuntos de vetores a seguir são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Encontre uma parametrização para os vetores do espaço gerado e, se possível, identifique o tipo de espaço que geram.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os vetores v1 = (2, -1, 3), v2 = (-1, 3, -4) e v3 = (-1, 7, -6) são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente matrizes e determinantes. Precisaremos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante dela.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz onde cada vetor é uma coluna da matriz:
A = 2 & -1 & -1 -1 & 3 & 7 3 & -4 & -6
Passo 3
Agora, para determinar se os vetores são LI ou LD, vamos calcular o determinante da matriz . A regra é: se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes; se for zero, são dependentes.
O determinante de é 10, que é diferente de zero. Então, segundo a regra que vimos, os vetores são linearmente independentes (LI).
Passo 6
Como temos três vetores linearmente independentes em , eles geram todo o espaço tridimensional . Isso significa que qualquer vetor nesse espaço pode ser representado como uma combinação linear desses três vetores.
Resposta
Os vetores , e são linearmente independentes e geram o espaço .