Determine se os conjuntos de vetores a seguir são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Encontre uma parametrização para os vetores do espaço gerado e, se possível, identifique o tipo de espaço que geram. v1=(2,-1,3), v2=(-1,3,-4), v3=(-1,7,-6) in R^3 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os vetores v1 = (2, -1, 3), v2 = (-1, 3, -4) e v3 = (-1, 7, -6) são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente matrizes e determinantes. Precisaremos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante dela.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz onde cada vetor é uma coluna da matriz:
A = 2 & -1 & -1 -1 & 3 & 7 3 & -4 & -6

Passo 3

Agora, para determinar se os vetores são LI ou LD, vamos calcular o determinante da matriz . A regra é: se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes; se for zero, são dependentes.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A) = 2 cdot (3 cdot (-6) - 7 cdot (-4)) - (-1) cdot (-1 cdot (-6) - 7 cdot 3) + (-1) cdot (-1 cdot (-4) - 3 cdot 3) :
det(A) = 2 cdot (-18 + 28) - (-1) cdot (6 - 21) + (-1) cdot (4 - 9)
Simplificando passo a passo:
det(A) = 2 cdot 10 - (-1) cdot (-15) + (-1) cdot (-5)
det(A) = 20 - 15 + 5 = 10

Passo 5

O determinante de é 10, que é diferente de zero. Então, segundo a regra que vimos, os vetores são linearmente independentes (LI).

Passo 6

Como temos três vetores linearmente independentes em , eles geram todo o espaço tridimensional . Isso significa que qualquer vetor nesse espaço pode ser representado como uma combinação linear desses três vetores.

Resposta

Os vetores , e são linearmente independentes e geram o espaço .

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