Verifique se os operadores lineares T: R^3 R^3 são diagonalizáveis. Represente a matriz diagonal se o operador for diagonalizável.
T(x, y, z)=(3 x-3 y-4 z, 3 y+5 z,-z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o operador linear definido por é diagonalizável. Se for, também precisamos representar a matriz diagonal correspondente. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes, autovalores, autovetores e a condição de diagonalização.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz associada ao operador A = 3 & -3 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1 . Isso facilita nossos cálculos. A matriz será:

Passo 3

Agora, para verificar se é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Os autovalores são as soluções da equação característica: , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 4

Calculando A - lambda I = 3 - lambda & -3 & -4 0 & 3 - lambda & 5 0 & 0 & -1 - lambda :

Passo 5

O determinante de uma matriz triangular (como a que temos) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Então:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(3 - lambda)(-1 - lambda)
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
(3 - lambda)^2 (-1 - lambda) = 0

Passo 6

Resolvendo a equação:
  1. => (com multiplicidade 2)
  2. =>
Então, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Um operador é diagonalizável se a soma das multiplicidades dos autovalores for igual à dimensão do espaço e se para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes) for igual à multiplicidade algébrica.

Passo 8

Começando com A - 3I = 0 & -3 & -4 0 & 0 & 5 0 & 0 & -4 :
Resolvemos -3y - 4z = 0 5z = 0 -4z = 0 :
Isso nos dá o sistema:
Da segunda e terceira equações, . Substituindo na primeira equação: => .
Então, é livre. Portanto, os autovetores são da forma , ou seja, qualquer múltiplo de .

Passo 9

Agora, para A + I = 4 & -3 & -4 0 & 4 & 5 0 & 0 & 0 :
Resolvemos 4x - 3y - 4z = 0 4y + 5z = 0 0 = 0 :
4x - 3(-54z) - 4z = 0 4x + 154z - 4z = 0 4x - 14z = 0 x = 116z
Isso nos dá o sistema:
Da segunda equação: => . Substituindo na primeira:
Então, os autovetores são da forma .

Passo 10

Agora, contamos os autovetores:
  • Para : Existe apenas um autovetor independente, .
  • Para : Existe um autovetor independente, .
A soma é 2, mas a dimensão do espaço é 3. Isso significa que não temos autovetores suficientes para uma base completa, logo não é diagonalizável.

Resposta

O operador linear n��o é diagonalizável.

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