Verifique se os operadores lineares são diagonalizáveis. Represente a matriz diagonal se o operador for diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o operador linear definido por é diagonalizável. Se for, também precisamos representar a matriz diagonal correspondente. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes, autovalores, autovetores e a condição de diagonalização.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz associada ao operador . Isso facilita nossos cálculos. A matriz será:
Passo 3
Agora, para verificar se é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Os autovalores são as soluções da equação característica: , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Então, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .
Passo 7
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Um operador é diagonalizável se a soma das multiplicidades dos autovalores for igual à dimensão do espaço e se para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes) for igual à multiplicidade algébrica.