Determine se os conjuntos de vetores a seguir são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Encontre uma parametrização para os vetores do espaço gerado e, se possível, identifique o tipo de espaço que geram.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se os vetores v1 = (2, -1, 3) e v2 = (6, -3, 9) são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Além disso, temos que encontrar uma parametrização para o espaço que eles geram e, se der, identificar que tipo de espaço é esse. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e independência de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa serem linearmente dependentes ou independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Se um vetor pode ser expresso como um múltiplo do outro, eles são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos verificar se existe um número escalar k tal que v2 = k cdot v1. Isso significa que cada componente de v2 deve ser igual à componente correspondente de v1 multiplicada por k.
Passo 4
Vamos igualar as componentes:
6 = k cdot 2 Rightarrow k = 62 = 3
-3 = k cdot (-1) Rightarrow k = -3-1 = 3
9 = k cdot 3 Rightarrow k = 93 = 3
Passo 5
Vemos que o valor de k é o mesmo em todas as componentes (k = 3). Isso significa que v2 é exatamente 3 vezes v1.
Passo 6
Como v2 pode ser escrito como um múltiplo de v1, os vetores são linearmente dependentes.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma parametrização para o espaço gerado por esses vetores. Como temos apenas um vetor independente (já que o outro é múltiplo dele), o espaço gerado é uma reta no espaço R^3.
Podemos parametrizar essa reta usando um parâmetro t:
r(t) = t cdot v1 = t cdot (2, -1, 3) = (2t, -t, 3t)
Resposta
Os vetores v1 e v2 são linearmente dependentes. O espaço que eles geram é uma reta em R^3, e uma parametrização para essa reta é dada por: