Verifique se os operadores lineares T: R^3 R^3 são diagonalizáveis. Represente a matriz diagonal se o operador for diagonalizável.
T(x, y, z)=(2 x-y, y-z, 2 y+4 z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o operador linear definido por é diagonalizável. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores. Precisaremos calcular os autovalores de , encontrar os autovetores correspondentes e verificar se temos um conjunto completo de autovetores linearmente independentes para diagonalizar a matriz de .

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T(x, y, z) = 2x - y y - z 2y + 4z como uma matriz. Observando a transformação:
A = 2 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 2 & 4
Podemos escrever a matriz associada a da seguinte forma:

Passo 3

Agora, para verificar se A - lambda I = 2 - lambda & -1 & 0 0 & 1 - lambda & -1 0 & 2 & 4 - lambda é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores, ou seja, resolver a equação característica , onde é a matriz identidade.
Calculando :

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A - lambda I) = (2 - lambda) cdot det 1 - lambda & -1 2 & 4 - lambda - (-1) cdot det 0 & -1 0 & 4 - lambda + 0 cdot det() :
det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(1 - lambda)(4 - lambda) - (-1)(2)] + 1 cdot [0 - 0] = (2 - lambda)[(1 - lambda)(4 - lambda) + 2]
Simplificando:
(1 - lambda)(4 - lambda) + 2 = 4 - lambda - 4lambda + lambda^2 + 2 = lambda^2 - 5lambda + 6
Expandindo o termo dentro dos colchetes:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 6)
Portanto:
(2 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 6) = 0
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
lambda = 2 ou lambda^2 - 5lambda + 6 = 0
Resolvendo:
lambda = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12 Rightarrow lambda = 3 ou lambda = 2
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para A - 2I = 0 & -1 & 0 0 & -1 & -1 0 & 2 & 2 :
Resolvemos - y = 0 - y - z = 0 2y + 2z = 0 :
1 0 0
Isso nos leva ao sistema:
A - 3I = -1 & -1 & 0 0 & -2 & -1 0 & 2 & 1
Da primeira equação, - x - y = 0 - 2y - z = 0 2y + z = 0 . Substituindo em seguida, -1 1 -2. Portanto, qualquer vetor autovetor associado a tem a forma , ou seja, é um múltiplo de .
Para :
Resolvemos :
Isso nos leva ao sistema:
Da segunda e terceira equações, somando-as dá , então temos e . Assim, os autovetores têm a forma , ou seja, são múltiplos de .

Passo 6

Agora, vamos verificar se os autovetores são linearmente independentes. Temos dois autovalores distintos ( 1 0 0 e -1 1 -2) com respectivos autovetores e . Como temos 2 autovetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 3, precisamos de mais um autovetor para ter uma base completa.
No entanto, o autovalor tem multiplicidade algébrica 2 (pois aparece duas vezes no determinante), mas vimos que só temos um autovetor associado a ele. Portanto, o operador não possui uma base completa de autovetores e, consequentemente, não é diagonalizável.

Resposta

O operador linear não é diagonalizável.

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