Verifique se os operadores lineares são diagonalizáveis. Represente a matriz diagonal se o operador for diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o operador linear definido por é diagonalizável. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores. Precisaremos calcular os autovalores de , encontrar os autovetores correspondentes e verificar se temos um conjunto completo de autovetores linearmente independentes para diagonalizar a matriz de .
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Observando a transformação:
Podemos escrever a matriz associada a da seguinte forma:
Passo 3
Agora, para verificar se A - lambda I = 2 - lambda & -1 & 0 0 & 1 - lambda & -1 0 & 2 & 4 - lambda é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores, ou seja, resolver a equação característica , onde é a matriz identidade.
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para A - 2I = 0 & -1 & 0 0 & -1 & -1 0 & 2 & 2 :
Resolvemos - y = 0 - y - z = 0 2y + 2z = 0 :
1 0 0
Isso nos leva ao sistema:
A - 3I = -1 & -1 & 0 0 & -2 & -1 0 & 2 & 1
Da primeira equação, - x - y = 0 - 2y - z = 0 2y + z = 0 . Substituindo em seguida, -1 1 -2. Portanto, qualquer vetor autovetor associado a tem a forma , ou seja, é um múltiplo de .
Para :
Resolvemos :
Isso nos leva ao sistema:
Da segunda e terceira equações, somando-as dá , então temos e . Assim, os autovetores têm a forma , ou seja, são múltiplos de .
Passo 6
Agora, vamos verificar se os autovetores são linearmente independentes. Temos dois autovalores distintos (1 0 0 e -1 1 -2) com respectivos autovetores e . Como temos 2 autovetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 3, precisamos de mais um autovetor para ter uma base completa.
No entanto, o autovalor tem multiplicidade algébrica 2 (pois aparece duas vezes no determinante), mas vimos que só temos um autovetor associado a ele. Portanto, o operador não possui uma base completa de autovetores e, consequentemente, não é diagonalizável.