Determine o valor de c que torna a função
uma função densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa
e
.
Determine o seguinte:
g) Distribuição de probabilidades marginais de
.
Determine o seguinte:
g) Distribuição de probabilidades marginais de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função conjunta de probabilidade $ f(x, y) = c \cdot e^{-2x - 3y} $ definida para $ 0 < x $ e $ 0 < y < x $. Nosso objetivo aqui é encontrar a distribuição de probabilidade marginal de $ X $. Para isso, vamos precisar primeiro garantir que $ f(x, y) $ seja uma função densidade válida, ou seja, que a integral dela sobre toda a área definida seja igual a 1. Depois, usaremos essa função para encontrar a distribuição marginal de $ X $.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ c $ que torna $ f(x, y) $ uma função densidade de probabilidade válida. Isso significa que:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro, com respeito a $ y $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
Podemos simplificar:
Passo 5
Vamos calcular as duas integrais separadamente:
Passo 6
Substituindo de volta:
Calculando o que está dentro dos parênteses:
Então:
Passo 7
Agora que encontramos $ c = 10 $, podemos encontrar a distribuição marginal de $ X $, que é dada por:
Passo 8
Vamos resolver essa integral:
Calculando a integral:
Passo 9
Substituindo de volta:
Podemos simplificar mais:
Resposta
A distribuição de probabilidade marginal de $ X $ é: