Determine o valor de c que torna a função f(x, y)=c e^-2 x-3 y uma função densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa 0 e 0.
Determine o seguinte:
g) Distribuição de probabilidades marginais de X.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função conjunta de probabilidade $ f(x, y) = c \cdot e^{-2x - 3y} $ definida para $ 0 < x $ e $ 0 < y < x $. Nosso objetivo aqui é encontrar a distribuição de probabilidade marginal de $ X $. Para isso, vamos precisar primeiro garantir que $ f(x, y) $ seja uma função densidade válida, ou seja, que a integral dela sobre toda a área definida seja igual a 1. Depois, usaremos essa função para encontrar a distribuição marginal de $ X $.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ c $ que torna $ f(x, y) $ uma função densidade de probabilidade válida. Isso significa que:
c

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, com respeito a $ y $:
y
Simplificando:
integral0^x e^-3y , dy = [ -13 e^-3y ]0^x = -13 e^-3x + 13

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
c cdot integral0^infty e^-2x cdot 13 (1 - e^-3x) , dx = 1
Podemos simplificar:
c3 integral0^infty (e^-2x - e^-5x) , dx = 1

Passo 5

Vamos calcular as duas integrais separadamente:
integral0^infty e^-2x , dx = 12
integral0^infty e^-5x , dx = 15

Passo 6

Substituindo de volta:
c3 (12 - 15) = 1
Calculando o que está dentro dos parênteses:
12 - 15 = 5 - 210 = 310
Então:
c3 cdot 310 = 1 implies c10 = 1 implies c = 10

Passo 7

Agora que encontramos $ c = 10 $, podemos encontrar a distribuição marginal de $ X $, que é dada por:
c = 10

Passo 8

Vamos resolver essa integral:
fX(x) = 10 cdot e^-2x cdot integral0^x e^-3y , dy
Calculando a integral:
integral0^x e^-3y , dy = 13 (1 - e^-3x)

Passo 9

Substituindo de volta:
fX(x) = 10 cdot e^-2x cdot 13 (1 - e^-3x) = 103 e^-2x (1 - e^-3x)
Podemos simplificar mais:
fX(x) = 103 (e^-2x - e^-5x)

Resposta

A distribuição de probabilidade marginal de $ X $ é:
X

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