Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema
em
em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um sistema de equações diferenciais usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é útil para encontrar soluções particulares de sistemas lineares não homogêneos. Para isso, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares de equações diferenciais, encontrar a solução geral da parte homogênea e depois determinar uma solução específica que se ajusta ao termo não homogêneo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais dado:
Nosso objetivo é encontrar as funções
e
que satisfazem esse sistema para todo
no intervalo
.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a parte homogênea do sistema, ou seja, ignorando os termos constantes (-7 e +5):
Para resolver isso, escrevemos o sistema em forma matricial:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os autovalores do matriz dos coeficientes para determinar as soluções da parte homogênea. Calculamos o determinante da matriz
:
Resolvendo a equação característica:
Os autovalores são complexos puros,
e
.
Passo 5
Com autovalores complexos, a solução geral da parte homogênea é dada por:
Para encontrar as expressões de
em termos de
, voltamos ao sistema homogêneo:
Substituindo
:
Resolvendo essa equação diferencial, obtemos:
Passo 6
Agora, encontramos a solução particular do sistema original. Vamos supor que as soluções particulares têm a forma de constantes, já que os termos não homogêneos são constantes:
Substituindo
e
nas equações originais:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Assim, a solução particular é:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Escreva os primeiros termos da série
para encontrar
e
. Calcule a soma da série e expresse a desigualdade
em termos de
, encontrando os valores de
para os quais a desigualdade é válida e a série converge.
Determine as coordenadas do centróide dos seguintes sólidos:
(5.2) limitado pelo cone circular reto de raio e altura
, com vértice na origem, com eixo coincidente com
(Pode assumir o resultado para o volume do cone e que a abcissa e a ordenada do centróide são iguais a 0 )
(5.2) limitado pelo cone circular reto de raio
Determine o momento de inércia dos seguintes sólidos:
(7.3) limitado pela esferas , pelo plano
e pelos cones
e
, com densidade
, em relação ao eixo
(7.3) limitado pela esferas
Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.