Determine as coordenadas de P (x, y), sabendo que ele é equidistante aos pontos M (3, 6), N (4, 3) e O (0, 0)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas de um ponto $ P(x, y) $ que está igualmente distante dos três pontos $ M(3, 6) $, $ N(4, 3) $ e $ O(0, 0) $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância entre dois pontos no plano. Se tivermos dois pontos $ A(x_1, y_1) $ e $ B(x_2, y_2) $, a distância $ d $ entre eles é dada por:
Passo 3
Como o ponto $ P $ é equidistante dos três pontos $ M $, $ N $ e $ O $, isso significa que a distância de $ P $ a cada um desses pontos é igual. Vamos chamar essa distância de $ d $. Assim, temos:
Passo 4
Agora, para simplificar, vamos igualar as distâncias dois a dois e resolver as equações resultantes.
Primeiro, igualamos a distância de $ P $ a $ M $ e a $ N $:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Levando todos os termos para um lado:
Passo 5
Agora, vamos igualar a distância de $ P $ a $ M $ e a $ O $:
Elevando ao quadrado:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos substituir $ x $ da primeira equação na segunda:
Agora, substituindo $ y =3.5 $ na primeira equação:
Resposta
As coordenadas do ponto $ P $ são $ \boxed{(0.5,\ 3.5)} $.