Determine as coordenadas de P (x, y), sabendo que ele é equidistante aos pontos M (3, 6), N (4, 3) e O (0, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas de um ponto $ P(x, y) $ que está igualmente distante dos três pontos $ M(3, 6) $, $ N(4, 3) $ e $ O(0, 0) $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância entre dois pontos no plano. Se tivermos dois pontos $ A(x_1, y_1) $ e $ B(x_2, y_2) $, a distância $ d $ entre eles é dada por:
A(x1, y1)

Passo 3

Como o ponto $ P $ é equidistante dos três pontos $ M $, $ N $ e $ O $, isso significa que a distância de $ P $ a cada um desses pontos é igual. Vamos chamar essa distância de $ d $. Assim, temos:
P

Passo 4

Agora, para simplificar, vamos igualar as distâncias dois a dois e resolver as equações resultantes.
Primeiro, igualamos a distância de $ P $ a $ M $ e a $ N $:
P
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
M
Expandindo os termos:
N
Simplificando:
raiz(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = raiz(x - 4)^2 + (y - 3)^2
Levando todos os termos para um lado:
(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = (x - 4)^2 + (y - 3)^2

Passo 5

Agora, vamos igualar a distância de $ P $ a $ M $ e a $ O $:
P
Elevando ao quadrado:
M
Expandindo:
O
Simplificando:
raiz(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = raizx^2 + y^2

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
x =3y -10 x +2y =7.5
Vamos substituir $ x $ da primeira equação na segunda:
x
Agora, substituindo $ y =3.5 $ na primeira equação:
(3y -10) +2y =7.5 Rightarrow 5y -10 =7.5 Rightarrow 5y =17.5 Rightarrow y =3.5

Resposta

As coordenadas do ponto $ P $ são $ \boxed{(0.5,\ 3.5)} $.

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