Determine as coordenadas do ponto P que pertence ao eixo das abscissas e é equidistante dos pontos A=(-1,2) e B=(1,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas do ponto que está no eixo das abscissas (ou seja, no eixo ) e que está à mesma distância dos pontos e . Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos. Se tivermos dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e , a distância entre eles é dada por:

Passo 3

Como o ponto está no eixo das abscissas, sua coordenada é zero. Então, podemos representar como .

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância de dPA = raiz(x - (-1))^2 + (0 - 2)^2 = raiz(x + 1)^2 + 4 para dPB = raiz(x - 1)^2 + (0 - 4)^2 = raiz(x - 1)^2 + 16 e para usando a fórmula da distância.
Distância de para :
Distância de para :

Passo 5

Como raiz(x + 1)^2 + 4 = raiz(x - 1)^2 + 16 está equidistante de e , as distâncias e são iguais. Então, podemos igualar as expressões:

Passo 6

Para resolver essa equação, vamos primeiro eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
(x + 1)^2 + 4 = (x - 1)^2 + 16

Passo 7

Agora, vamos expandir os quadrados:
(x^2 + 2x + 1) + 4 = (x^2 - 2x + 1) + 16
Simplificando:
x^2 + 2x + 5 = x^2 - 2x + 17

Passo 8

Vamos subtrair 2x + 5 = -2x + 17 de ambos os lados para simplificar:

Passo 9

Agora, vamos somar 4x + 5 = 17 em ambos os lados:
4x = 12
Em seguida, subtraímos 5 de ambos os lados:

Passo 10

Dividindo ambos os lados por 4:
x = 3

Resposta

O ponto que está no eixo das abscissas e é equidistante dos pontos e tem as coordenadas .

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