Resolva a equação diferencial exata:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial exata que é:
O conteúdo que precisamos usar aqui é das equações diferenciais exatas. Basicamente, uma equação é exata quando conseguimos encontrar uma função
tal que sua diferencial total
seja igual à equação dada. Para resolver, vamos encontrar essa função
e igualar a uma constante.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções
e
na equação:
Para verificar se a equação é exata, vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é de fato exata!
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função
. Começamos integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
, já que a derivada em relação a
eliminou qualquer dependência de
.
Passo 4
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Assim, temos:
Integrando
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão de
:
A solução geral da equação diferencial é onde
é constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Resolva a equação de Riccati:
.
Determine as coordenadas do ponto
que pertence ao eixo das abscissas e é equidistante dos pontos
e
.
Seja
. Determine uma base e a dimensão do subespaço