Resolva a equação diferencial exata:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial exata que é:
O conteúdo que precisamos usar aqui é das equações diferenciais exatas. Basicamente, uma equação é exata quando conseguimos encontrar uma função tal que sua diferencial total seja igual à equação dada. Para resolver, vamos encontrar essa função e igualar a uma constante.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções e na equação:
Para verificar se a equação é exata, vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é de fato exata!

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função . Começamos integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de , já que a derivada em relação a eliminou qualquer dependência de .

Passo 4

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Assim, temos:
Integrando :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos na expressão de :
A solução geral da equação diferencial é onde é constante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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