Resolva a equação diferencial exata:
(2 x y+3) d x+(x^2+3 y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial exata que é:
(2xy + 3) , dx + (x^2 + 3y) , dy = 0
O conteúdo que precisamos usar aqui é das equações diferenciais exatas. Basicamente, uma equação é exata quando conseguimos encontrar uma função tal que sua diferencial total seja igual à equação dada. Para resolver, vamos encontrar essa função e igualar a uma constante.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções M(x, y) = 2xy + 3 N(x, y) = x^2 + 3y e partial Mpartial y = 2x partial Npartial x = 2x na equação:
Para verificar se a equação é exata, vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é de fato exata!

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função F(x, y) = integral M(x, y) , dx = integral (2xy + 3) , dx = x^2y + 3x + h(y) . Começamos integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de , já que a derivada em relação a eliminou qualquer dependência de .

Passo 4

Para encontrar partial Fpartial y = x^2 + h'(y) = N(x, y) = x^2 + 3y , derivamos x^2 + h'(y) = x^2 + 3y Rightarrow h'(y) = 3y em relação a h(y) = 32y^2 + C e igualamos a :
Assim, temos:
Integrando :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos F(x, y) = x^2y + 3x + 32y^2 + C na expressão de x^2y + 3x + 32y^2 = C :
A solução geral da equação diferencial é onde é constante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x^2y + 3x + 32y^2 = C

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