Seja . Determine uma base e a dimensão do subespaço
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. A pergunta quer que a gente encontre uma base e a dimensão de um subespaço definido por:
Aqui, é a derivada do polinômio . Vamos precisar entender como derivar um polinômio e encontrar quais polinômios têm derivada igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de um polinômio em relação a é:
Queremos que , ou seja:
Passo 3
Para que essa equação seja verdadeira para todo , cada coeficiente deve ser igual a zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos que:
Passo 4
Com esses valores, o polinômio fica:
Ou seja, é um polinômio constante. Isso significa que o subespaço é formado por todos os polinômios constantes no espaço .
Passo 5
Agora, para encontrar uma base para , precisamos de um conjunto de polinômios que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço . Como todo polinômio em é constante, basta escolher o polinômio constante :
Passo 6
A dimensão de um subespaço é o número de vetores em sua base. Como nossa base tem apenas um elemento, concluímos que a dimensão de é 1.