Seja . Determine uma base e a dimensão do subespaço

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. A pergunta quer que a gente encontre uma base e a dimensão de um subespaço definido por:
Aqui, é a derivada do polinômio . Vamos precisar entender como derivar um polinômio e encontrar quais polinômios têm derivada igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de um polinômio em relação a é:
Queremos que , ou seja:

Passo 3

Para que essa equação seja verdadeira para todo , cada coeficiente deve ser igual a zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos que:

Passo 4

Com esses valores, o polinômio fica:
Ou seja, é um polinômio constante. Isso significa que o subespaço é formado por todos os polinômios constantes no espaço .

Passo 5

Agora, para encontrar uma base para , precisamos de um conjunto de polinômios que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço . Como todo polinômio em é constante, basta escolher o polinômio constante :

Passo 6

A dimensão de um subespaço é o número de vetores em sua base. Como nossa base tem apenas um elemento, concluímos que a dimensão de é 1.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 1.

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