Se $A=(1,3)$, determine os pontos $P$ do eixo das abscissas tais que $d(P, A)=5$.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um ponto $A = (1, 3)$ e pede para encontrarmos os pontos $P$ que estão no eixo das abscissas (ou seja, no eixo $x$) tal que a distância entre $P$ e $A$ é igual a $5$. Para resolver isso, vamos usar a **fórmula da distância entre dois pontos no plano**.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos. Se temos dois pontos $A = (x_A, y_A)$ e $P = (x_P, y_P)$, a distância $d$ entre eles é dada por:
$$
d = \sqrt{(x_P - x_A)^2 + (y_P - y_A)^2}
$$
Aqui, a gente já sabe que $d = 5$, $A = (1, 3)$ e que $P$ está no eixo das abscissas, então sua coordenada $y$ é $0$ (já que qualquer ponto no eixo $x$ tem $y = 0$).
Passo 3
Vamos chamar o ponto $P$ de $(x, 0)$. Substituindo os valores na fórmula da distância:
$$
5 = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 3)^2}
$$
Passo 4
Primeiro, vamos simplificar dentro da raiz:
$$
5 = \sqrt{(x - 1)^2 + (-3)^2} \\
5 = \sqrt{(x - 1)^2 + 9}
$$
Passo 5
Agora, para tirar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:
$$
5^2 = (x - 1)^2 + 9 \\
25 = (x - 1)^2 + 9
$$
Passo 6
Vamos isolar o termo $(x - 1)^2$:
$$
25 - 9 = (x - 1)^2 \\
16 = (x - 1)^2
$$
Passo 7
Para encontrar $x$, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
$$
x - 1 = \pm \sqrt{16} \\
x - 1 = \pm 4
$$
Passo 8
Finalmente, resolvemos para $x$ em ambos os casos:
$$
x = 1 + 4 \\
x = 1 - 4
$$
Então, temos duas soluções:
$$
x = 5 \quad \text{e} \quad x = -3
$$
Resposta
Os pontos $P$ no eixo das abscissas são $(5, 0)$ e $(-3, 0)$.