Se $A=(1,3)$, determine os pontos $P$ do eixo das abscissas tais que $d(P, A)=5$.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um ponto $A = (1, 3)$ e pede para encontrarmos os pontos $P$ que estão no eixo das abscissas (ou seja, no eixo $x$) tal que a distância entre $P$ e $A$ é igual a $5$. Para resolver isso, vamos usar a **fórmula da distância entre dois pontos no plano**.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos. Se temos dois pontos $A = (x_A, y_A)$ e $P = (x_P, y_P)$, a distância $d$ entre eles é dada por: $$ d = \sqrt{(x_P - x_A)^2 + (y_P - y_A)^2} $$ Aqui, a gente já sabe que $d = 5$, $A = (1, 3)$ e que $P$ está no eixo das abscissas, então sua coordenada $y$ é $0$ (já que qualquer ponto no eixo $x$ tem $y = 0$).

Passo 3

Vamos chamar o ponto $P$ de $(x, 0)$. Substituindo os valores na fórmula da distância: $$ 5 = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 3)^2} $$

Passo 4

Primeiro, vamos simplificar dentro da raiz: $$ 5 = \sqrt{(x - 1)^2 + (-3)^2} \\ 5 = \sqrt{(x - 1)^2 + 9} $$

Passo 5

Agora, para tirar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado: $$ 5^2 = (x - 1)^2 + 9 \\ 25 = (x - 1)^2 + 9 $$

Passo 6

Vamos isolar o termo $(x - 1)^2$: $$ 25 - 9 = (x - 1)^2 \\ 16 = (x - 1)^2 $$

Passo 7

Para encontrar $x$, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados: $$ x - 1 = \pm \sqrt{16} \\ x - 1 = \pm 4 $$

Passo 8

Finalmente, resolvemos para $x$ em ambos os casos: $$ x = 1 + 4 \\ x = 1 - 4 $$ Então, temos duas soluções: $$ x = 5 \quad \text{e} \quad x = -3 $$

Resposta

Os pontos $P$ no eixo das abscissas são $(5, 0)$ e $(-3, 0)$.

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