Determine as coordenadas dos vértices do triângulo PQR sabendo que as coordenadas do:
  • baricentro são (3,1).
  • ponto médio de P Q são (4,2).
  • ponto médio de Q R são (4,-1).
  • ponto médio de RP são (1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as coordenadas dos vértices de um triângulo . A gente sabe onde está o baricentro ( ) e os pontos médios dos lados , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria como baricentro e pontos médios, além de montar um sistema de equações para descobrir as coordenadas dos vértices.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o baricentro. O baricentro de um triângulo é o ponto onde as três medianas se encontram e é calculado pela média das coordenadas dos vértices. Ou seja:
( xP + xQ + xR3, yP + yQ + yR3 ) = (3,1)
Isso nos dá duas equações:
xP + xQ + xR = 9 e yP + yQ + yR = 3

Passo 3

Agora, vamos usar os pontos médios dos lados. O ponto médio de um segmento de reta é encontrado pela média das coordenadas dos pontos que formam o segmento. Vamos aplicar isso para cada lado:
  • Ponto médio de xP + xQ2 = 4 Rightarrow xP + xQ = 8 é yP + yQ2 = 2 Rightarrow yP + yQ = 4 :
xQ + xR2 = 4 Rightarrow xQ + xR = 8
yQ + yR2 = -1 Rightarrow yQ + yR = -2
  • Ponto médio de xR + xP2 = 1 Rightarrow xR + xP = 2 é yR + yP2 = 2 Rightarrow yR + yP = 4 :
  • Ponto médio de é :

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações para as coordenadas (xP + xQ) - (xQ + xR) = 8 - 8 Rightarrow xP - xR = 0 Rightarrow xP = xR e outro para as coordenadas xR + xR = 2 Rightarrow 2xR = 2 Rightarrow xR = 1 . Vamos resolver primeiro para Então, xP = 1 :
  1. 1 + xQ = 8 Rightarrow xQ = 7 (Eq.1)
  2. (Eq.2)
  3. (Eq.3)
Subtraindo a Eq.1 da Eq.2:
Agora, substituindo na Eq.3:
ã
Agora, substituindo na Eq.1:

Passo 5

Vamos resolver agora para as coordenadas (yP + yQ) - (yQ + yR) = 4 - (-2) Rightarrow yP - yR = 6 :
  1. yP - yR + yR + yP = 6 + 4 Rightarrow 2yP = 10 Rightarrow yP = 5 (Eq.A)
  2. yR + 5 = 4 Rightarrow yR = -1 (Eq.B)
  3. yP + yQ = 4 Rightarrow 5 + yQ = 4 Rightarrow yQ = -1 (Eq.C)
Subtraindo a Eq.A da Eq.B:
Agora, somando essa equação com a Eq.C:
Substituindo na Eq.C:
E por fim, substituindo na Eq.A:

Resposta

As coordenadas dos vértices do triângulo P = (1, , 5), Q = (7, , -1), R = (1, , -1) são:

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d) -2 x+y-8=0
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Escreva a equação geral da reta representada en cada item.
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Verifique se os pontos dados em cada item são colineares.
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