Determine as coordenadas dos vértices do triângulo PQR sabendo que as coordenadas do:
baricentro são .
ponto médio de são (4,2).
ponto médio de Q R são (4,-1).
ponto médio de RP são (1,2).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as coordenadas dos vértices de um triângulo . A gente sabe onde está o baricentro () e os pontos médios dos lados , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria como baricentro e pontos médios, além de montar um sistema de equações para descobrir as coordenadas dos vértices.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o baricentro. O baricentro de um triângulo é o ponto onde as três medianas se encontram e é calculado pela média das coordenadas dos vértices. Ou seja:
( xP + xQ + xR3, yP + yQ + yR3 ) = (3,1)
Isso nos dá duas equações:
xP + xQ + xR = 9 e yP + yQ + yR = 3
Passo 3
Agora, vamos usar os pontos médios dos lados. O ponto médio de um segmento de reta é encontrado pela média das coordenadas dos pontos que formam o segmento. Vamos aplicar isso para cada lado:
Ponto médio de xP + xQ2 = 4 Rightarrow xP + xQ = 8 é yP + yQ2 = 2 Rightarrow yP + yQ = 4 :
xQ + xR2 = 4 Rightarrow xQ + xR = 8
yQ + yR2 = -1 Rightarrow yQ + yR = -2
Ponto médio de xR + xP2 = 1 Rightarrow xR + xP = 2 é yR + yP2 = 2 Rightarrow yR + yP = 4 :
Ponto médio de é :
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações para as coordenadas (xP + xQ) - (xQ + xR) = 8 - 8 Rightarrow xP - xR = 0 Rightarrow xP = xR e outro para as coordenadas xR + xR = 2 Rightarrow 2xR = 2 Rightarrow xR = 1 . Vamos resolver primeiro para Então, xP = 1 :
1 + xQ = 8 Rightarrow xQ = 7 (Eq.1)
(Eq.2)
(Eq.3)
Subtraindo a Eq.1 da Eq.2:
Agora, substituindo na Eq.3:
ã
Agora, substituindo na Eq.1:
Passo 5
Vamos resolver agora para as coordenadas (yP + yQ) - (yQ + yR) = 4 - (-2) Rightarrow yP - yR = 6 :
yP - yR + yR + yP = 6 + 4 Rightarrow 2yP = 10 Rightarrow yP = 5 (Eq.A)