(a) Determine as coordenadas x y dos vetores canônicos unitários U1 e U2 do sistema de coordenadas x^prime y^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas e dos vetores unitários canônicos e do sistema de coordenadas . Isso tá ligado ao conteúdo de sistemas de coordenadas e vetores unitários. Pra resolver, vamos precisar saber como transformar os vetores entre os sistemas de coordenadas, geralmente usando rotações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os vetores unitários canônicos no sistema e1 = 1 0 e e2 = 0 1 são:
Esses vetores têm magnitude 1 e estão alinhados com os eixos e , respectivamente.

Passo 3

Agora, suponha que o sistema é obtido a partir do sistema por uma rotação de um ângulo no sentido anti-horário. Isso significa que os vetores unitários e no sistema são obtidos rotacionando e por .

Passo 4

A matriz de rotação para um ângulo R(theta) = costheta & -sintheta sintheta & costheta é dada por:
Essa matriz vai transformar os vetores do sistema para o sistema .

Passo 5

Aplicando a matriz de rotação U1 = R(theta) cdot e1 = costheta sintheta nos vetores U2 = R(theta) cdot e2 = -sintheta costheta e , temos:

Resposta

As coordenadas dos vetores unitários canônicos U1 = costheta sintheta e U2 = -sintheta costheta e no sistema são:

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