Encontre o tipo de cônica para a equação 4 x^2-9 y^2+8 x-6 y+7=0 ^* *

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir qual é o tipo de cônica representada pela equação 4x^2 - 9y^2 + 8x - 6y + 7 = 0. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra sobre as diferentes cônicas: circunferência, elipse, parábola e hipérbole. Vamos precisar organizar a equação para identificar os coeficientes e ver como eles determinam o tipo de cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de x e os termos de y:
4x^2 + 8x - 9y^2 - 6y + 7 = 0
Isso vai nos ajudar a completar o quadrado para as variáveis x e y separadamente.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo de x. Pegamos os coeficientes de x:
4x^2 + 8x = 4(x^2 + 2x)
Para completar o quadrado dentro do parêntese, adicionamos e subtraímos (2/2)^2 = 1:
4(x^2 + 2x + 1 - 1) = 4[(x + 1)^2 - 1] = 4(x + 1)^2 - 4

Passo 4

Fazemos o mesmo para o termo de y:
-9y^2 - 6y = -9(y^2 + 23y)
Completando o quadrado dentro do parêntese, adicionamos e subtraímos (23/2)^2 = 19:
-9(y^2 + 23y + 19 - 19) = -9[(y + 13)^2 - 19] = -9(y + 13)^2 + 1

Passo 5

Substituímos esses resultados de volta na equação original:
4(x + 1)^2 - 4 - 9(y + 13)^2 + 1 + 7 = 0
Simplificando os termos constantes:
4(x + 1)^2 - 9(y + 13)^2 + 4 = 0

Passo 6

Isolamos os termos com as variáveis:
4(x + 1)^2 - 9(y + 13)^2 = -4
Para facilitar, dividimos todos os termos por -4:
- 44(x + 1)^2 + 94(y + 13)^2 = 1
Simplificando:
- (x + 1)^2 + 94(y + 13)^2 = 1

Passo 7

Reorganizamos para destacar os termos positivos:
94(y + 13)^2 - (x + 1)^2 = 1
Agora, a equação está na forma padrão de uma hipérbole:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1

Resposta

A equação 4x^2 - 9y^2 + 8x - 6y + 7 = 0 representa uma hipérbole.

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