Determine o cosseno do ângulo entre as seguintes retas
(b) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o cosseno do ângulo entre duas retas no espaço. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente o uso de vetores diretores e produto escalar. Vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e aplicar a fórmula do cosseno entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . Para a reta , a equação está na forma paramétrica:
O vetor diretor de é dado pelos coeficientes de , ou seja:

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta . A equação está dada em uma forma mista, mas podemos reescrever para encontrar seu vetor diretor. A equação é:
Vamos expressar em termos de um parâmetro :
Então, o vetor diretor de é:

Passo 4

Agora que temos os vetores diretores e , vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, calculamos as normas dos vetores:

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula do cosseno:

Resposta

O cosseno do ângulo entre as retas e é .

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