Determine o cosseno do ângulo entre as seguintes retas
(b) r1:lx=-2-t y=3-2 t z=t e r2:lx=2 y-2 z=y-7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o cosseno do ângulo entre duas retas no espaço. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente o uso de vetores diretores e produto escalar. Vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e aplicar a fórmula do cosseno entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r1: x = -2 - t y = 3 - 2t z = t e u = -1 -2 1 . Para a reta , a equação está na forma paramétrica:
O vetor diretor de é dado pelos coeficientes de , ou seja:

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta r2: x = 2y - 2 z = y - 7 . A equação está dada em uma forma mista, mas podemos reescrever para encontrar seu vetor diretor. A equação é:
y = s
Vamos expressar x = 2s - 2 em termos de um parâmetro z = s - 7 :
v = 2 1 1
Então, o vetor diretor de é:

Passo 4

Agora que temos os vetores diretores cos(theta) = u cdot v||u|| , ||v|| e , vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = (-1)(2) + (-2)(1) + (1)(1) = -2 - 2 + 1 = -3 :

Passo 6

Agora, calculamos as normas dos vetores:
||u|| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
||v|| = raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
cos(theta) = -3raiz6 times raiz6 = -36 = -0,5

Resposta

O cosseno do ângulo entre as retas e é .

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