Determine o cosseno do ângulo entre as seguintes retas
(b) e r2:lx=2 y-2 z=y-7
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o cosseno do ângulo entre duas retas no espaço. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente o uso de vetores diretores e produto escalar. Vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e aplicar a fórmula do cosseno entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r1: x = -2 - t y = 3 - 2t z = t e u = -1 -2 1 . Para a reta , a equação está na forma paramétrica:
O vetor diretor de é dado pelos coeficientes de , ou seja:
Passo 3
Agora, vamos analisar a reta r2: x = 2y - 2 z = y - 7 . A equação está dada em uma forma mista, mas podemos reescrever para encontrar seu vetor diretor. A equação é:
y = s
Vamos expressar x = 2s - 2 em termos de um parâmetro z = s - 7 :
v = 2 1 1
Então, o vetor diretor de é:
Passo 4
Agora que temos os vetores diretores cos(theta) = u cdot v||u|| , ||v|| e , vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles:
Onde:
é o produto escalar dos vetores.
e são as normas (comprimentos) dos vetores.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar u cdot v = (-1)(2) + (-2)(1) + (1)(1) = -2 - 2 + 1 = -3 :