Determinar equações do plano que
(e) Passa pelos pontos e é perpendicular ao plano
Passo 1
Vamos por partes! O exercício pede para encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos e e que é perpendicular a outro plano dado por . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre equações de planos e vetores. Vamos precisar entender como vetores definem um plano e como verificar a perpendicularidade entre planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar um vetor que está dentro do plano que queremos determinar. Como o plano passa pelos pontos e , podemos usar o vetor que vai de para , chamado de vetor .
Para encontrar , subtraímos as coordenadas de das de :
Esse vetor está no nosso plano.
Passo 3
Agora, sabemos que o nosso plano é perpendicular ao plano . Dois planos são perpendiculares se os vetores normais deles forem perpendiculares.
O vetor normal do plano é .
Queremos encontrar o vetor normal do nosso plano que seja perpendicular tanto a quanto a . Para isso, usamos o produto vetorial entre e :
Calculando o determinante:
Podemos simplificar dividindo todos os componentes por 2:
Passo 4
Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos escrever a equação do plano usando a forma vetorial:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar isso:
Podemos rearranjar para deixar a equação mais padrão: