Determinar equações do plano que
(e) Passa pelos pontos P=(-2,4,1), Q=(3,-7,0) e é perpendicular ao plano pi:-x+5 y+7 z=0

Passo 1

Vamos por partes! O exercício pede para encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos e e que é perpendicular a outro plano dado por . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre equações de planos e vetores. Vamos precisar entender como vetores definem um plano e como verificar a perpendicularidade entre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um vetor que está dentro do plano que queremos determinar. Como o plano passa pelos pontos PQ = Q - P = (3 - (-2), -7 - 4, 0 - 1) = (5, -11, -1) e , podemos usar o vetor que vai de para , chamado de vetor .
Para encontrar , subtraímos as coordenadas de das de :
Esse vetor está no nosso plano.

Passo 3

Agora, sabemos que o nosso plano é perpendicular ao plano n = PQ times npi = i & j & k 5 & -11 & -1 -1 & 5 & 7 . Dois planos são perpendiculares se os vetores normais deles forem perpendiculares.
O vetor normal do plano n = i(-11 cdot 7 - (-1) cdot 5) - j(5 cdot 7 - (-1) cdot (-1)) + k(5 cdot 5 - (-11) cdot (-1)) é n = i(-77 + 5) - j(35 - 1) + k(25 - 11) = (-72, -34, 14) .
Queremos encontrar o vetor normal n = (-36, -17, 7) do nosso plano que seja perpendicular tanto a quanto a . Para isso, usamos o produto vetorial entre e :
Calculando o determinante:
Podemos simplificar dividindo todos os componentes por 2:

Passo 4

Com o vetor normal n cdot (X - P) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto -36(x + 2) -17(y - 4) +7(z - 1) = 0 , podemos escrever a equação do plano usando a forma vetorial:
-36x -72 -17y +68 +7z -7 = 0
Substituindo os valores:
-36x -17y +7z -11 = 0
Vamos simplificar isso:
-36x -17y +7z = 11
Podemos rearranjar para deixar a equação mais padrão:

Resposta

A equação do plano é .

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