Determine três pontos distintos sobre o plano pi para
(d) pi:lx=4 t+s y=2+t+3 s z=-3+4 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar três pontos diferentes que estão no plano pi, cuja equação paramétrica é dada por:
pi:l x=4 t + s y=2 + t + 3 s z=-3 + 4 t
Aqui, estamos trabalhando com equações paramétricas de um plano. Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser encontrado escolhendo valores para os parâmetros e e substituindo esses valores nas equações de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são parâmetros x = 4(0) + 0 = 0 y = 2 + 0 + 3(0) = 2 z = -3 + 4(0) = -3 e . Eles são como “controles” que nos permitem gerar diferentes pontos no plano. Ao escolher diferentes valores para e , obtemos diferentes coordenadas que pertencem ao plano.
Para encontrar três pontos distintos, vamos escolher três conjuntos diferentes de valores para e . Por exemplo:
  1. Primeiro ponto: Vamos escolher e .
    Substituindo na equação:
    Então, o primeiro ponto é .

Passo 3

  1. Segundo ponto: Agora, vamos escolher x = 4(1) + 0 = 4 y = 2 + 1 + 3(0) = 3 z = -3 + 4(1) = 1 e .
    Substituindo na equação:
    Assim, o segundo ponto é .

Passo 4

  1. Terceiro ponto: Por fim, vamos escolher x = 4(0) + 1 = 1 y = 2 + 0 + 3(1) = 5 z = -3 + 4(0) = -3 e .
    Substituindo na equação:
    Portanto, o terceiro ponto é .

Resposta

Os três pontos distintos no plano pi são:
P1(0, 2, -3), P2(4, 3, 1) e P3(1, 5, -3)

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