Determine as curvas de grade das superfícies dadas, nos pontos indicados (encontre e correspondente ao ponto):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar as curvas de grade da superfície dada pela equação no ponto . Isso envolve usar conceitos de parametrização de superfícies e entender como as curvas de grade funcionam. Para resolver, vamos precisar reescrever a equação da superfície em termos de duas variáveis parâmetros, digamos e , e encontrar os valores de e que correspondem ao ponto .
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície. A equação é uma equação linear que representa um plano. Podemos escolher dois parâmetros, por exemplo, e , para expressar e em função desses parâmetros e resolver para . Vamos supor que:
Agora, substituímos e na equação do plano para encontrar :
Então, a parametrização da superfície fica:
Passo 3
Agora, temos que encontrar os valores de e que correspondem ao ponto . Pela parametrização:
Vamos verificar se esses valores satisfazem a equação para z:
Confirmamos que , que é o valor de z no ponto P.
Passo 4
Então, os valores de e correspondentes ao ponto P são:
Esses são os parâmetros que, quando substituídos na parametrização da superfície, nos dão exatamente o ponto P.
Resposta
Os valores dos parâmetros correspondentes ao ponto P são e .