Determine as curvas de grade das superfícies dadas, nos pontos indicados (encontre u0 e v0 correspondente ao ponto):
6x + 3y + 2z = 6, P = (1/4, 1/2, 3/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar as curvas de grade da superfície dada pela equação no ponto . Isso envolve usar conceitos de parametrização de superfícies e entender como as curvas de grade funcionam. Para resolver, vamos precisar reescrever a equação da superfície em termos de duas variáveis parâmetros, digamos u e v, e encontrar os valores de e que correspondem ao ponto P.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície. A equação é uma equação linear que representa um plano. Podemos escolher dois parâmetros, por exemplo, u e v, para expressar x e y em função desses parâmetros e resolver para z. Vamos supor que:
Agora, substituímos x e y na equação do plano para encontrar z:
Então, a parametrização da superfície fica:

Passo 3

Agora, temos que encontrar os valores de e que correspondem ao ponto . Pela parametrização:
Vamos verificar se esses valores satisfazem a equação para z:
Confirmamos que , que é o valor de z no ponto P.

Passo 4

Então, os valores de e correspondentes ao ponto P são:
Esses são os parâmetros que, quando substituídos na parametrização da superfície, nos dão exatamente o ponto P.

Resposta

Os valores dos parâmetros correspondentes ao ponto P são e .

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