Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
© sumn=4^infty 10n^2-4 n+3

Passo 1

Vamos analisar a série . O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e fatoração de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador n^2 - 4n + 3 = (n - 1)(n - 3) . Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3. Então, a fatoração fica:
sumn=4^infty 10(n - 1)(n - 3)
Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes 10(n - 1)(n - 3) = An - 1 + Bn - 3 e 10 = A(n - 3) + B(n - 1) tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 4

Para encontrar 10 = A(1 - 3) + B(0) Rightarrow 10 = -2A Rightarrow A = -5 e 10 = A(0) + B(3 - 1) Rightarrow 10 = 2B Rightarrow B = 5 , vamos escolher valores de 10(n - 1)(n - 3) = -5n - 1 + 5n - 3 que simplifiquem a equação:
  • Se :
  • Se :
Então, a decomposição fica:

Passo 5

Substituindo na série original, temos:
sumn=4^infty ( -5n - 1 + 5n - 3 )
Isso pode ser reescrito como:
-5 sumn=4^infty 1n - 1 + 5 sumn=4^infty 1n - 3

Passo 6

Observando que os índices das somas podem ser ajustados, fazemos as substituições:
  • Para a primeira soma, deixe -5 sumk=3^infty 1k + 5 summ=1^infty 1m , então vai de 3 a .
  • Para a segunda soma, deixe , então vai de 1 a .
Assim, a série fica:

Passo 7

Ao somar essas séries, percebemos que:
-5 ( 13 + 14 + 15 + dots ) + 5 ( 11 + 12 + 13 + dots )
As parcelas a partir de 5 ( 11 + 12 ) = 5 (1 + 12 ) = 5 times 32 = 152 se cancelam, restando:

Resposta

A série converge e seu valor é .

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