Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
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Passo 1
Vamos analisar a série
. O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e fatoração de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3. Então, a fatoração fica:
Assim, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação:
- Se
:
- Se
:
Então, a decomposição fica:
Passo 5
Substituindo na série original, temos:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 6
Observando que os índices das somas podem ser ajustados, fazemos as substituições:
- Para a primeira soma, deixe
, então vai de 3 a . - Para a segunda soma, deixe
, então vai de 1 a .
Assim, a série fica:
Passo 7
Ao somar essas séries, percebemos que:
As parcelas a partir de
se cancelam, restando:
Resposta
A série converge e seu valor é
.