Determine se a série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(b) sumn=1^infty (-1)^n+1(n+1)n^3+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série
sumn=1^infty (-1)^n+1(n+1)n^3+1
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries, especialmente séries alternadas e o conceito de convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente olha para a série dos valores absolutos dos termos:
sumn=1^infty | (-1)^n+1(n+1)n^3+1 | = sumn=1^infty n+1n^3+1
Agora, precisamos ver se essa nova série converge. Podemos simplificar a fração:
n+1n^3+1 approx nn^3 = 1n^2
Para grandes valores de , a expressão se comporta como , que sabemos que é uma série p, com , e portanto convergente.

Passo 3

Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente. Quando uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente de forma condicional, mas a convergência absoluta é uma condição mais forte.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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