Determine a densidade condicional do parâmetro W dado que o segurado sofreu n acidentes ao longo de um ano.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a densidade condicional do parâmetro dado que o segurado sofreu acidentes ao longo de um ano. Isso envolve conceitos de estatística bayesiana, onde atualizamos nossa crença sobre o parâmetro com base nas observações dos acidentes.

Passo 2

Para resolver esse problema, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos permite atualizar a distribuição de probabilidade de um parâmetro com base em evidências novas. A fórmula do Teorema de Bayes é:
p(W | n) = p(n | W) cdot p(W)p(n)
Aqui, é a densidade condicional que queremos encontrar, é a verossimilhança dos dados dado , é a distribuição a priori de , e é a probabilidade dos dados observados.

Passo 3

Primeiro, precisamos identificar a verossimilhança p(n | W) = e^-W W^nn! . Vamos assumir que o número de acidentes segue uma distribuição de Poisson, que é comum para contar eventos que acontecem de forma independente ao longo do tempo. A função de verossimilhança para a distribuição de Poisson é:
Onde:
  • é a base do logaritmo natural,
  • é a taxa média de acidentes,
  • é o fatorial de .

Passo 4

Em seguida, precisamos definir a distribuição a priori p(W) = beta^alphaGamma(alpha) W^alpha - 1 e^-beta W . Vamos supor que segue uma distribuição Gamma, que é uma escolha comum por ser conjugada à distribuição de Poisson, facilitando os cálculos. A função de densidade da distribuição Gamma é:
Onde:
  • é o parâmetro de forma,
  • é o parâmetro de taxa,
  • é a função gama.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes substituindo as expressões de p(W | n) = ( e^-W W^nn! ) cdot ( beta^alphaGamma(alpha) W^alpha - 1 e^-beta W )p(n) e p(W | n) propto W^n + alpha - 1 e^-(beta + 1) W :
Simplificando os termos:

Passo 6

Reconhecemos que essa forma é a função de densidade da distribuição Gamma com novos parâmetros:
alpha' = n + alpha
beta' = beta + 1
Portanto, a densidade condicional é uma distribuição Gamma com esses novos parâmetros.

Resposta

A densidade condicional do parâmetro p(W | n) = beta'^alpha'Gamma(alpha') W^alpha' - 1 e^-beta' W dado que o segurado sofreu acidentes ao longo de um ano é uma distribuição Gamma com parâmetros e . Ou seja,

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