Determine a densidade condicional do parâmetro W dado que o segurado sofreu
acidentes ao longo de um ano.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a densidade condicional do parâmetro
dado que o segurado sofreu
acidentes ao longo de um ano. Isso envolve conceitos de estatística bayesiana, onde atualizamos nossa crença sobre o parâmetro
com base nas observações dos acidentes.
Passo 2
Para resolver esse problema, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos permite atualizar a distribuição de probabilidade de um parâmetro com base em evidências novas. A fórmula do Teorema de Bayes é:
Aqui,
é a densidade condicional que queremos encontrar,
é a verossimilhança dos dados dado
,
é a distribuição a priori de
, e
é a probabilidade dos dados observados.
Passo 3
Primeiro, precisamos identificar a verossimilhança
. Vamos assumir que o número de acidentes
segue uma distribuição de Poisson, que é comum para contar eventos que acontecem de forma independente ao longo do tempo. A função de verossimilhança para a distribuição de Poisson é:
Onde:
-
é a base do logaritmo natural, -
é a taxa média de acidentes, -
é o fatorial de .
Passo 4
Em seguida, precisamos definir a distribuição a priori
. Vamos supor que
segue uma distribuição Gamma, que é uma escolha comum por ser conjugada à distribuição de Poisson, facilitando os cálculos. A função de densidade da distribuição Gamma é:
Onde:
-
é o parâmetro de forma, -
é o parâmetro de taxa, -
é a função gama.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes substituindo as expressões de
e
:
Simplificando os termos:
Passo 6
Reconhecemos que essa forma é a função de densidade da distribuição Gamma com novos parâmetros:
Portanto, a densidade condicional
é uma distribuição Gamma com esses novos parâmetros.
Resposta
A densidade condicional do parâmetro
dado que o segurado sofreu
acidentes ao longo de um ano é uma distribuição Gamma com parâmetros
e
. Ou seja,