Encontre P(X >= 3 Y). (Em outras palavras, encontre a probabilidade de que o dispositivo de limpeza reduza a quantidade de poluente em 1 / 3 ou mais.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para a gente encontrar a probabilidade de que . Isso significa que queremos saber a chance de o dispositivo de limpeza reduzir a quantidade de poluente em ou mais. Para resolver isso, vamos trabalhar com conceitos de probabilidade conjunta e distribuições de variáveis aleatórias. Precisaremos entender como as variáveis e se relacionam e quais são suas distribuições.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que e são variáveis aleatórias contínuas e que conhecemos suas funções de densidade de probabilidade, e . A probabilidade que queremos calcular é . Isso significa que queremos a área no plano onde é pelo menos três vezes maior que .

Passo 3

Para encontrar essa probabilidade, vamos usar a probabilidade conjunta de e . A probabilidade conjunta nos dá a densidade de probabilidade conjunta das duas variáveis. A probabilidade pode ser calculada integrando a função de densidade conjunta sobre a região onde .

Passo 4

Matematicamente, podemos expressar isso da seguinte forma:
P(X >= 3 Y) = integraly=0^infty integralx=3y^infty fXY(x,y) , dx , dy
Aqui, estamos primeiro integrando em relação a de até o infinito para cada , e depois integrando em relação a de 0 até o infinito.

Passo 5

Se as variáveis fXY(x,y) = fX(x) cdot fY(y) e P(X >= 3 Y) = integraly=0^infty integralx=3y^infty fX(x) fY(y) , dx , dy forem independentes, a função de densidade conjunta se simplifica para o produto das densidades individuais:
Nesse caso, a integral fica:

Passo 6

Vamos supor que sabemos as funções de densidade integralx=3y^infty fX(x) , dx = P(X >= 3y) e . O próximo passo é realizar a integração interna em relação a :
Isso representa a probabilidade de ser pelo menos para um valor fixo de .

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original, temos:
P(X >= 3 Y) = integraly=0^infty P(X >= 3y) cdot fY(y) , dy
Isso significa que estamos somando todas as probabilidades de ponderadas pela densidade de .

Resposta

Então, a probabilidade de que o dispositivo de limpeza reduza a quantidade de poluente em P(X >= 3 Y) = integraly=0^infty ( integralx=3y^infty fX(x) cdot fY(y) , dx ) dy ou mais é dada por:
Essa expressão pode ser calculada substituindo as funções de densidade específicas de e e resolvendo as integrais.

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