Encontre
. (Em outras palavras, encontre a probabilidade de que o dispositivo de limpeza reduza a quantidade de poluente em
ou mais.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para a gente encontrar a probabilidade de que
. Isso significa que queremos saber a chance de o dispositivo de limpeza reduzir a quantidade de poluente em
ou mais. Para resolver isso, vamos trabalhar com conceitos de probabilidade conjunta e distribuições de variáveis aleatórias. Precisaremos entender como as variáveis
e
se relacionam e quais são suas distribuições.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que
e
são variáveis aleatórias contínuas e que conhecemos suas funções de densidade de probabilidade,
e
. A probabilidade que queremos calcular é
. Isso significa que queremos a área no plano
onde
é pelo menos três vezes maior que
.
Passo 3
Para encontrar essa probabilidade, vamos usar a probabilidade conjunta de
e
. A probabilidade conjunta
nos dá a densidade de probabilidade conjunta das duas variáveis. A probabilidade
pode ser calculada integrando a função de densidade conjunta sobre a região onde
.
Passo 4
Matematicamente, podemos expressar isso da seguinte forma:
Aqui, estamos primeiro integrando em relação a
de
até o infinito para cada
, e depois integrando em relação a
de 0 até o infinito.
Passo 5
Se as variáveis
e
forem independentes, a função de densidade conjunta
se simplifica para o produto das densidades individuais:
Nesse caso, a integral fica:
Passo 6
Vamos supor que sabemos as funções de densidade
e
. O próximo passo é realizar a integração interna em relação a
:
Isso representa a probabilidade de
ser pelo menos
para um valor fixo de
.
Passo 7
Substituindo de volta na expressão original, temos:
Isso significa que estamos somando todas as probabilidades de
ponderadas pela densidade de
.
Resposta
Então, a probabilidade de que o dispositivo de limpeza reduza a quantidade de poluente em
ou mais é dada por:
Essa expressão pode ser calculada substituindo as funções de densidade específicas de
e
e resolvendo as integrais.