Mostre que M sim Poisson(p lambda).
(Dica: Note que
sumn=k^infty x^n-k(n-k)!=sumj=0^infty x^jj!=e^x
para todo x in R.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a variável aleatória segue uma distribuição de Poisson com parâmetro . Isso envolve entender o que é uma distribuição de Poisson e como podemos provar que se encaixa nessa definição. Vamos precisar usar a fórmula da distribuição de Poisson e o fato de que a soma de certas séries exponenciais dá .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a função de probabilidade de uma variável de Poisson. Se P(X = k) = mu^k e^-muk!, para k = 0, 1, 2, dots , então:
No nosso caso, queremos mostrar que , então vamos precisar chegar a essa forma para .

Passo 3

Vamos considerar que sumn=k^infty x^n-k(n-k)! = sumj=0^infty x^jj! = e^x é definida de alguma forma que envolve uma soma ou uma combinação que possa ser relacionada à distribuição de Poisson. Sem o contexto completo, vamos assumir que pode ser escrita em termos de uma soma envolvendo e . A dica fornecida sugere que usamos a série exponencial:
Isso será útil para simplificar a expressão de .

Passo 4

Vamos expressar P(M = k) = sumn=k^infty P(N = n) cdot P(M = k mid N = n) de forma que possamos aplicar a dica. Suponha que seja a soma de eventos que seguem uma distribuição específica. Então:
Onde pode seguir uma distribuição relacionada a e . Vamos precisar adaptar isso para chegar na forma da Poisson.

Passo 5

Aplicando a distribuição de Poisson para P(N = n) = lambda^n e^-lambdan! com parâmetro P(M = k mid N = n) = binomnk p^k (1-p)^n-k :
P(M = k) = sumn=k^infty lambda^n e^-lambdan! cdot binomnk p^k (1-p)^n-k
E assumindo que segue uma distribuição Binomial com parâmetros e :
Agora, substituímos essas expressões na soma:

Passo 6

Simplificando a expressão, sabemos que P(M = k) = p^k e^-lambdak! sumn=k^infty (lambda (1-p))^n-k(n-k)! . Substituindo na equação:

Passo 7

Agora, vamos aplicar a dica fornecida. Observamos que a soma é:
sumn=k^infty (lambda (1-p))^n-k(n-k)! = e^lambda (1-p)
Então, substituindo de volta:
P(M = k) = p^k e^-lambdak! cdot e^lambda (1-p) = (plambda)^k e^-plambdak!

Resposta

Portanto, segue uma distribuição de Poisson com parâmetro , ou seja, .

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