Mostre que
.
(Dica: Note que
para todo
.)
(Dica: Note que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a variável aleatória
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Isso envolve entender o que é uma distribuição de Poisson e como podemos provar que
se encaixa nessa definição. Vamos precisar usar a fórmula da distribuição de Poisson e o fato de que a soma de certas séries exponenciais dá
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a função de probabilidade de uma variável de Poisson. Se
, então:
No nosso caso, queremos mostrar que
, então vamos precisar chegar a essa forma para
.
Passo 3
Vamos considerar que
é definida de alguma forma que envolve uma soma ou uma combinação que possa ser relacionada à distribuição de Poisson. Sem o contexto completo, vamos assumir que
pode ser escrita em termos de uma soma envolvendo
e
. A dica fornecida sugere que usamos a série exponencial:
Isso será útil para simplificar a expressão de
.
Passo 4
Vamos expressar
de forma que possamos aplicar a dica. Suponha que
seja a soma de eventos que seguem uma distribuição específica. Então:
Onde
pode seguir uma distribuição relacionada a
e
. Vamos precisar adaptar isso para chegar na forma da Poisson.
Passo 5
Aplicando a distribuição de Poisson para
com parâmetro
:
E assumindo que
segue uma distribuição Binomial com parâmetros
e
:
Agora, substituímos essas expressões na soma:
Passo 6
Simplificando a expressão, sabemos que
. Substituindo na equação:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a dica fornecida. Observamos que a soma é:
Então, substituindo de volta:
Resposta
Portanto,
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
, ou seja,
.