Encontre a função de densidade condicional da quantidade de poluente por amostra quando o dispositivo de limpeza não está operando, dada a quantidade por amostra quando está funcionando.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos pediu para encontrar a função de densidade condicional da quantidade de poluente por amostra quando o dispositivo de limpeza não está operando, dado que sabemos a quantidade de poluente quando ele está funcionando. Isso envolve conceitos de probabilidade e estatística, especificamente funções de densidade conjunta e condicional. Vamos precisar entender como relacionar essas funções para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de densidade condicional. Ela nos dá a probabilidade de uma variável aleatória assumir certos valores, dado que outra variável já está em um estado específico. No nosso caso, queremos saber a densidade de poluente quando o dispositivo não está funcionando, dado que sabemos a quantidade quando ele está funcionando.

Passo 3

Para encontrar a função de densidade condicional, usamos a seguinte fórmula:
fX|Y(x|y) = fX,Y(x,y)fY(y)
Aqui:
  • é a função de densidade condicional que queremos encontrar.
  • é a função de densidade conjunta das duas variáveis.
  • é a função de densidade marginal da quantidade de poluente quando o dispositivo está funcionando.

Passo 4

Vamos interpretar isso no contexto do nosso problema:
  • : Quantidade de poluente por amostra quando o dispositivo não está operando.
  • : Quantidade de poluente por amostra quando o dispositivo está operando.
Então, representa a probabilidade conjunta de termos uma certa quantidade de poluente tanto com o dispositivo funcionando quanto sem ele. E é apenas a probabilidade de termos uma certa quantidade de poluente com o dispositivo funcionando, independente de estar operando ou não.

Passo 5

Para aplicar a fórmula, precisamos conhecer a função de densidade conjunta e a função de densidade marginal . Se essas funções forem dadas ou puderem ser derivadas a partir de dados ou informações adicionais, podemos substituir na fórmula e calcular a densidade condicional.

Passo 6

Sem informações específicas sobre fX|Y(x|y) = fX,Y(x,y)fY(y) e , podemos expressar a solução de forma geral. Assim, a função de densidade condicional da quantidade de poluente quando o dispositivo não está operando, dado a quantidade quando está operando, é:

Resposta

A função de densidade condicional da quantidade de poluente por amostra quando o dispositivo de limpeza não está operando, dado a quantidade por amostra quando está funcionando, é:
fX|Y(x|y) = fX,Y(x,y)fY(y)

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