Seja
. Use a Regra de L
Então:
b) Mostre que
para todo
suficientemente grande.
b) Mostre que
Passo 1
Vamos resumir o que foi pedido na questão. Temos que, para todo número real positivo
, o limite
foi demonstrado usando a Regra de L’Hôpital. Agora, precisamos mostrar que
para todo
suficientemente grande. Para isso, vamos usar o conhecimento sobre funções exponenciais e polinomiais, além de entender o comportamento dessas funções quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
para
grande. A função
decresce muito rapidamente à medida que
aumenta, enquanto
também decresce, mas de forma mais lenta. Queremos provar que, após certo ponto,
fica menor que
.
Passo 3
Para comparar essas duas funções, vamos considerar o limite do quociente
quando
tende ao infinito. Se conseguirmos mostrar que esse limite é zero, significa que
decresce mais rapidamente que
, ou seja,
para
grande.
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Agora, temos que analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito.
Passo 5
Observamos que
cresce exponencialmente, enquanto
cresce polinomialmente. O crescimento exponencial é muito mais rápido do que o crescimento polinomial. Portanto, o denominador
domina o numerador
, fazendo com que o quociente tende a zero.
Passo 6
Formalmente, aplicamos a Regra de L’Hôpital para o limite
. Derivando numerador e denominador:
Novamente, o denominador cresce exponencialmente, e independentemente do valor de
, isso faz com que o limite seja zero.
Passo 7
Como o limite
, concluímos que:
Resposta
Para todo
suficientemente grande, temos que
.
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Determine a derivada de cada função utilizando a regra da cadeia.
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Seja
b) Mostre que se
, então