Seja a>0. Use a Regra de L lim x +infty x^aln x=+infty
Então:
b) Mostre que e^-x^a para todo x suficientemente grande.

Passo 1

Vamos resumir o que foi pedido na questão. Temos que, para todo número real positivo , o limite foi demonstrado usando a Regra de L’Hôpital. Agora, precisamos mostrar que para todo suficientemente grande. Para isso, vamos usar o conhecimento sobre funções exponenciais e polinomiais, além de entender o comportamento dessas funções quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa para grande. A função decresce muito rapidamente à medida que aumenta, enquanto também decresce, mas de forma mais lenta. Queremos provar que, após certo ponto, fica menor que .

Passo 3

Para comparar essas duas funções, vamos considerar o limite do quociente quando tende ao infinito. Se conseguirmos mostrar que esse limite é zero, significa que decresce mais rapidamente que , ou seja, para grande.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
limx to +infty e^-x^ax^-2 = limx to +infty e^-x^a cdot x^2 = limx to +infty x^2e^x^a
Agora, temos que analisar o comportamento de quando tende ao infinito.

Passo 5

Observamos que cresce exponencialmente, enquanto cresce polinomialmente. O crescimento exponencial é muito mais rápido do que o crescimento polinomial. Portanto, o denominador domina o numerador , fazendo com que o quociente tende a zero.

Passo 6

Formalmente, aplicamos a Regra de L’Hôpital para o limite limx to +infty 2xa x^a-1 e^x^a = limx to +infty 2a x^a-2 e^x^a . Derivando numerador e denominador:
Novamente, o denominador cresce exponencialmente, e independentemente do valor de , isso faz com que o limite seja zero.

Passo 7

Como o limite limx to +infty e^-x^a cdot x^2 = 0 implies e^-x^a < x^-2 para todo x suficientemente grande , concluímos que:

Resposta

Para todo suficientemente grande, temos que .

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Seja
I=integral0^1 x^p ln (x) d x
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integral x^p ln x d x=x^p+1p+1(ln x-1p+1)+C