Determine a derivada de cada uma das funções a seguir.
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Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: queremos encontrar a derivada da função
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada. A derivada de uma função nos mostra como essa função está mudando em relação a uma variável. Neste caso, queremos saber como
muda quando
muda.
Passo 3
Nossa função é
, que é uma composição de duas funções: a função exponencial
e a função
. Para derivar uma função composta, usamos a regra da cadeia.
Passo 4
A regra da cadeia nos diz que para derivar
, onde
é uma função de
, fazemos o seguinte:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Vamos calcular
. Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão da derivada:
Resposta
A derivada da função é
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada;
(d) , onde
é cons-
tante.
(d)
tante.
Calcule a derivada das funções a seguir.
(j)
(j)
Encontre
e
Explique o teorema de existência e unicidade de soluções.