Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta tangente a uma curva definida por equações paramétricas em um ponto específico . Isso envolve conceitos de cálculo, mais especificamente derivadas paramétricas e retas tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de que corresponde ao ponto dado . As equações paramétricas da curva são:
Então, temos que:
Portanto, é o parâmetro correspondente ao ponto .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de cada componente em relação a para obter a direção da reta tangente. As derivadas são:
Calculando essas derivadas no ponto :
Então, o vetor diretor da reta tangente é .
Passo 4
Com o ponto e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta é:
Onde é o ponto de passagem e são as componentes do vetor diretor.