Determine a derivada da função vetorial. r(t) = sen^-1(t) i + raiz(1 - t^2) j + k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função vetorial . Isso envolve cálculo de derivadas de funções vetoriais usando regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função vetorial, a gente deriva cada componente separadamente em relação a t. Então, vamos olhar cada parte da função r(t):
  • A componente em i é
  • A componente em j é
  • A componente em k é constante, ou seja, k não depende de t

Passo 3

Vamos começar derivando a componente em i: . A derivada de em relação a t é . Isso vem da regra de derivação da função arco seno.

Passo 4

Agora, vamos para a componente em j: . Para derivar essa parte, usamos a regra da cadeia. Primeiro, escrevemos como .
A derivada será:

Passo 5

Por fim, a componente em k é simplesmente k. Como não tem t nessa parte, sua derivada em relação a t é zero.

Resposta

Juntando tudo, a derivada da função vetorial r(t) é:

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