Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva definida pelas equações paramétricas , , no ponto . Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente ao estudo de curvas no espaço e suas tangentes. Para resolver, vamos precisar encontrar o valor de que corresponde ao ponto dado e depois calcular a derivada das funções paramétricas para obter a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar para qual valor de a curva passa pelo ponto . Para isso, substituímos as coordenadas do ponto nas equações paramétricas:
Resolvendo a primeira equação:
Verificando nas demais equações com :
Então, é o valor que nos dá o ponto .
Passo 3
Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos calcular a derivada das funções paramétricas em relação a no ponto . As derivadas nos dão o vetor tangente à curva nesse ponto.
Calculando as derivadas:
No ponto :
Então, o vetor tangente é .
Passo 4
Com o vetor tangente e o ponto de tangência , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta é: