Determine a derivada partial partial^3partial z partial y partial x e^x^2+y z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a derivada parcial de terceira ordem de em relação a , depois e, por último, . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais de ordem superior. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de várias variáveis, como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a partial fpartial x = e^x^2 + y z cdot 2x = 2x , e^x^2 + y z . A função que temos é . Para derivar em relação a , tratamos e como constantes.
Usamos a regra da cadeia: se , então .
Aqui, , então a derivada de em relação a é .
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos derivar a primeira derivada parcial que encontramos ( partial^2 fpartial y partial x = 2x cdot z , e^x^2 + y z = 2x z , e^x^2 + y z ) em relação a .
Aplicamos novamente a regra da cadeia. Aqui, , e precisamos derivar isso em relação a .
A derivada de em relação a é , porque .
Assim,

Passo 4

Por fim, vamos derivar a segunda derivada parcial ( partialpartial z (2x z , e^x^2 + y z) = 2x , e^x^2 + y z + 2x z cdot y , e^x^2 + y z ) em relação a partial^3 fpartial z partial y partial x = 2x , e^x^2 + y z (1 + y z) .
Novamente, aplicamos a regra da cadeia. Temos duas partes no produto:
  1. : derivada em relação a é .
  2. : derivada em relação a é .
Usando a regra do produto:
Podemos fatorar :

Resposta

A derivada parcial de terceira ordem é igual a:
partial^3partial z partial y partial x e^x^2+y z = 2x (1 + y z) , e^x^2 + y z

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