Determine a derivada partial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a derivada parcial de terceira ordem de
em relação a
, depois
e, por último,
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais de ordem superior. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de várias variáveis, como a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
. A função que temos é
. Para derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes.
Usamos a regra da cadeia: se
, então
.
Aqui,
, então a derivada de
em relação a
é
.
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos derivar a primeira derivada parcial que encontramos (
) em relação a
.
Aplicamos novamente a regra da cadeia. Aqui,
, e precisamos derivar isso em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
, porque
.
Assim,
Passo 4
Por fim, vamos derivar a segunda derivada parcial (
) em relação a
.
Novamente, aplicamos a regra da cadeia. Temos duas partes no produto:
-
: derivada em relação a é . -
: derivada em relação a é .
Usando a regra do produto:
Podemos fatorar
:
Resposta
A derivada parcial de terceira ordem é igual a: