Se f(x) = (3 x^2 + sen(pi x))^100. Encontre f'(1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos encontrar a derivada dessa função no ponto . Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica de derivação para funções compostas. A Regra da Cadeia basicamente nos ajuda a derivar funções que são formadas por outras funções dentro delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos precisar derivar. Temos uma função composta onde a parte interna é e a parte externa é . A regra da cadeia nos diz que a derivada de será a derivada de em relação a multiplicada pela derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos começar derivando a parte externa . Usando a regra do poder, a derivada é:

Passo 4

Agora, vamos derivar a parte interna . A derivada de é . Para derivar , usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de é , então:
Juntando tudo:

Passo 5

Agora que temos e , podemos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de :
Substituindo :

Passo 6

Finalmente, vamos calcular . Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :

Resposta

Portanto, a derivada de no ponto é:

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