Seja f(x) = { x^2, se x <= 1; 1, se 1 < x <= 3; 5 - 2x, se x > 3 } Determine f'(0), f'(2) e f'(6).

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: Temos uma função definida por partes e precisamos encontrar suas derivadas em três pontos específicos: , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a regra de derivação para funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual parte da função está ativa em cada um desses pontos.
  • Para :
    Como , usamos a primeira definição: .
  • Para :
    Como , usamos a segunda definição: .
  • Para :
    Como , usamos a terceira definição: .

Passo 3

Agora, vamos derivar cada parte da função de acordo com seu intervalo.
  • Derivada quando :

    A derivada de é .
  • Derivada quando :

    A derivada de uma constante é zero, então .
  • Derivada quando :

    A derivada de é .

Passo 4

Agora, aplicamos as derivadas nos pontos específicos:
  • Para :
    Usamos
    Substituindo :
    .
  • Para :
    Usamos
    Portanto, .
  • Para :
    Usamos
    Portanto, .

Resposta

, e .

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