Determine as derivadas parciais
e
das funções
$$
f(x, y)=\left{
\quad g(x, y)=\left{$$
$$\right.\right.
$$
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as derivadas parciais
e
das funções
e
. A gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente de derivadas parciais, para entender como cada função muda em relação a
e a
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função
:
Queremos encontrar as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
, a derivada parcial de
em relação a
. Para
, usamos a regra do quociente:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
, a derivada parcial de
em relação a
, também usando a regra do quociente:
Passo 6
Simplificando essa expressão:
Passo 7
Agora, vamos analisar no ponto
. Precisamos verificar se as derivadas parciais existem nesse ponto. Para isso, usamos os limites:
Passo 8
Agora, vamos para a função
:
Queremos encontrar as derivadas parciais
e
.
Passo 9
Começando com
. Para
, usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 10
Simplificando:
Passo 11
Para encontrar
no ponto
, usamos o limite:
Passo 12
Agora, vamos encontrar
. Para
:
Passo 13
No ponto
, temos:
Resposta
As derivadas parciais são:
Para
:
No ponto
:
Para
:
No ponto
: