Determine as derivadas parciais fx e fy das funções
$$
f(x, y)=\left{ f(x, y)= { \quad g(x, y)=\left{$$
(x+y^4)/(x^2+y^2), se (x,y) ≠ (0,0); 0, se (x,y) = (0,0)
$$\right.\right.
$$

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as derivadas parciais e das funções e . A gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente de derivadas parciais, para entender como cada função muda em relação a e a .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função :
Queremos encontrar as derivadas parciais e .

Passo 3

Vamos começar encontrando , a derivada parcial de em relação a . Para , usamos a regra do quociente:

Passo 4

Simplificando a expressão:

Passo 5

Agora, vamos encontrar , a derivada parcial de em relação a , também usando a regra do quociente:

Passo 6

Simplificando essa expressão:

Passo 7

Agora, vamos analisar no ponto . Precisamos verificar se as derivadas parciais existem nesse ponto. Para isso, usamos os limites:
ã

Passo 8

Agora, vamos para a função :
Queremos encontrar as derivadas parciais e .

Passo 9

Começando com . Para , usamos a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 10

Simplificando:

Passo 11

Para encontrar no ponto , usamos o limite:

Passo 12

Agora, vamos encontrar . Para :

Passo 13

No ponto , temos:

Resposta

As derivadas parciais são:
Para :
No ponto :
ã
Para :
No ponto :

Exercícios relacionados