A derivada parcial da função
em relação a
é definida como
Analogamente, definem-se
e
. Em geral, para
, a derivada em relação a
-ésima variável
é
Passo 1
Beleza, galera! Vamos falar sobre derivadas parciais. O enunciado nos apresenta a definição da derivada parcial de uma função
em relação a uma das suas variáveis, tipo o
, usando limites. Para entender e resolver isso, vamos precisar saber sobre limites e como as funções mudam quando a gente altera apenas uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Imagine que você tem uma função com várias variáveis, como
. A derivada parcial em relação a
, denotada por
ou
, mede como a função muda quando você altera apenas o
, mantendo
e
constantes.
Passo 3
A definição formal usa limites para capturar essa ideia. Olha só:
Isso significa que estamos vendo o quanto
muda em
quando damos um passinho
em
, e depois dividimos essa mudança por
. Conforme
fica bem pequeno, isso nos dá a taxa de variação instantânea de
em relação a
.
Passo 4
Essa ideia se aplica para qualquer variável. Se a gente quiser a derivada parcial em relação a
, fazemos algo parecido, mas agora mudando só o
e mantendo
e
fixos:
Passo 5
De forma geral, para uma função com várias variáveis
, a derivada parcial em relação à
-ésima variável
é definida assim:
Isso generaliza o que fizemos para
e
, permitindo que calculemos como a função muda em qualquer uma das variáveis, mantendo as outras fixas.
Resposta
Então, a derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis captura a taxa de variação dessa função quando apenas essa variável muda, usando o conceito de limites para definir essa taxa de variação de forma precisa.