A derivada parcial da função w=f(x, y, z) em relação a x é definida como
fx(x, y, z):=lim h 0 f(x+h, y, z)-f(x, y, z)h
Analogamente, definem-se fy e fz. Em geral, para u=f(x1, x2, ldots, xn), a derivada em relação a i-ésima variável xi é
fi=Di f=partial fpartial xi=lim h 0 f(x1, ldots, xi-1, xi+h, xi+1, ldots, xn)-f(x1, ldots, xi, ldots, xn)h

Passo 1

Beleza, galera! Vamos falar sobre derivadas parciais. O enunciado nos apresenta a definição da derivada parcial de uma função em relação a uma das suas variáveis, tipo o , usando limites. Para entender e resolver isso, vamos precisar saber sobre limites e como as funções mudam quando a gente altera apenas uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Imagine que você tem uma função com várias variáveis, como . A derivada parcial em relação a , denotada por ou , mede como a função muda quando você altera apenas o , mantendo e constantes.

Passo 3

A definição formal usa limites para capturar essa ideia. Olha só:
fx(x, y, z) := lim h 0 f(x+h, y, z) - f(x, y, z)h
Isso significa que estamos vendo o quanto muda em quando damos um passinho em , e depois dividimos essa mudança por . Conforme fica bem pequeno, isso nos dá a taxa de variação instantânea de em relação a .

Passo 4

Essa ideia se aplica para qualquer variável. Se a gente quiser a derivada parcial em relação a fy(x, y, z) := lim h 0 f(x, y+h, z) - f(x, y, z)h , fazemos algo parecido, mas agora mudando só o e mantendo e fixos:

Passo 5

De forma geral, para uma função com várias variáveis fi = Di f = partial fpartial xi = lim h 0 f(x1, ldots, xi-1, xi+h, xi+1, ldots, xn) - f(x1, ldots, xi, ldots, xn)h , a derivada parcial em relação à -ésima variável é definida assim:
Isso generaliza o que fizemos para e , permitindo que calculemos como a função muda em qualquer uma das variáveis, mantendo as outras fixas.

Resposta

Então, a derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis captura a taxa de variação dessa função quando apenas essa variável muda, usando o conceito de limites para definir essa taxa de variação de forma precisa.

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