Para a função abaixo, mostre que
, mas
. Justifique porque ocorre este fenômeno.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos uma função
definida de forma diferente para
e para
. O objetivo é calcular as segundas derivadas mistas
e
, e mostrar que elas são diferentes nesse ponto específico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, denominada
, e a derivada parcial de
em relação a
, denominada
.
Para
, usamos a definição de derivada parcial:
Como
, temos:
De forma semelhante, para
:
Como
, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as segundas derivadas mistas. Primeiro,
. Isso significa que primeiro derivamos em relação a
e depois em relação a
.
Sabemos que
. Agora, calculamos
:
Vamos encontrar
. Para isso, consideramos:
Quando
,
, então:
Agora, substituímos de volta na expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Isso significa que primeiro derivamos em relação a
e depois em relação a
.
Sabemos que
. Agora, calculamos
:
Vamos encontrar
. Para isso, consideramos:
Quando
,
, então:
Agora, substituímos de volta na expressão de
:
Resposta
Assim, mostramos que
e
. Esse fenômeno ocorre porque as derivadas mistas não são iguais no ponto
, indicando que a função não é diferenciável de forma contínua nesse ponto.