Para a função abaixo, mostre que partial^2 fpartial y partial x(0,0)=0, mas partial^2 fpartial x partial y(0,0)=1. Justifique porque ocorre este fenômeno.
f(x, y)=cc x y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos uma função definida de forma diferente para e para . O objetivo é calcular as segundas derivadas mistas e , e mostrar que elas são diferentes nesse ponto específico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h em relação a fx(0,0) = limh to 0 0 - 0h = 0 , denominada fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k , e a derivada parcial de fy(0,0) = limk to 0 0 - 0k = 0 em relação a , denominada .
Para , usamos a definição de derivada parcial:
Como , temos:
De forma semelhante, para :
Como , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular as segundas derivadas mistas. Primeiro, fxy(0,0) = limk to 0 fx(0, k) - fx(0,0)k = limk to 0 fx(0, k)k . Isso significa que primeiro derivamos em relação a fx(0, k) = limh to 0 f(h, k) - f(0, k)h = limh to 0 h k^3h^2 + k^2 - 0h = limh to 0 k^3h^2 + k^2 e depois em relação a fx(0, k) = k^3k^2 = k .
Sabemos que fxy(0,0) = limk to 0 kk = 1 . Agora, calculamos :
Vamos encontrar . Para isso, consideramos:
Quando , , então:
Agora, substituímos de volta na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos calcular fyx(0,0) = limh to 0 fy(h, 0) - fy(0,0)h = limh to 0 fy(h, 0)h . Isso significa que primeiro derivamos em relação a fy(h, 0) = limk to 0 f(h, k) - f(h, 0)k = limk to 0 h k^3h^2 + k^2 - 0k = limk to 0 h k^2h^2 + k^2 e depois em relação a fy(h, 0) = h cdot 0h^2 = 0 .
Sabemos que fyx(0,0) = limh to 0 0h = 0 . Agora, calculamos :
Vamos encontrar . Para isso, consideramos:
Quando , , então:
Agora, substituímos de volta na expressão de :

Resposta

Assim, mostramos que e . Esse fenômeno ocorre porque as derivadas mistas não são iguais no ponto , indicando que a função não é diferenciável de forma contínua nesse ponto.

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