Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada parcial de terceira ordem de
em relação a
duas vezes e a
uma vez, ou seja,
. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e aplicar as regras de diferenciação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. A função
pode ser reescrita como
. Usamos a regra da cadeia para derivar:
Passo 3
Agora, vamos derivar a primeira derivada parcial em relação a
novamente para obter a segunda derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, precisamos derivar a segunda derivada parcial em relação a
para obter a derivada de terceira ordem
. Vamos derivar:
Simplificando:
Resposta
A derivada parcial de terceira ordem é: