Determine as derivadas parciais indicadas. W=raizu+v^2, partial^3 Wpartial u^2 partial v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada parcial de terceira ordem de em relação a duas vezes e a uma vez, ou seja, . Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e aplicar as regras de diferenciação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial Wpartial u = 12(u + v^2)^-1/2 cdot 1 = 12raizu + v^2 em relação a . A função pode ser reescrita como . Usamos a regra da cadeia para derivar:

Passo 3

Agora, vamos derivar a primeira derivada parcial em relação a partial^2 Wpartial u^2 = partialpartial u ( 12raizu + v^2 ) = 12 cdot ( -12 ) (u + v^2)^-3/2 cdot 1 = -14(u + v^2)^-3/2 novamente para obter a segunda derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, precisamos derivar a segunda derivada parcial em relação a partial^3 Wpartial u^2 partial v = partialpartial v ( -14(u + v^2)^-3/2 ) = -14 cdot ( -32 ) (u + v^2)^-5/2 cdot 2v para obter a derivada de terceira ordem = 34 cdot 2v cdot (u + v^2)^-5/2 = 3v2(u + v^2)^-5/2 . Vamos derivar:
Simplificando:

Resposta

A derivada parcial de terceira ordem é:
partial^3 Wpartial u^2 partial v = 3v2(u + v^2)^5/2

Exercícios relacionados