Determine as derivadas parciais indicadas. $W=\sqrt{u+v^{2}}, \quad \frac{\partial^{3} W}{\partial u^{2} \partial v}$
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada parcial de terceira ordem de
em relação a
duas vezes e a
uma vez, ou seja,
. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e aplicar as regras de diferenciação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. A função
pode ser reescrita como
. Usamos a regra da cadeia para derivar:
Passo 3
Agora, vamos derivar a primeira derivada parcial em relação a
novamente para obter a segunda derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, precisamos derivar a segunda derivada parcial em relação a
para obter a derivada de terceira ordem
. Vamos derivar:
Simplificando:
Resposta
A derivada parcial de terceira ordem é:
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<html><head></head><body><div>Use a Regra da Cadeia para achar dïdt ou dan dth.<br>
<span class=“math-inline “>
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</body></html>
Determine as derivadas parciais indicadas.
<html><head></head><body><div>Interpretando <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“3.649ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 1613 1000”><title>r(t)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D42B” d=“M405 293T374 293T324 312T305 361Q305 378 312 394Q315 397 315 399Q305 399 294 394T266 375T238 329T222 249Q221 241 221 149V62H308V0H298Q280 3 161 3Q47 3 38 0H29V62H98V210V303Q98 353 96 363T83 376Q69 380 42 380H29V442H32L118 446Q204 450 205 450H210V414L211 378Q247 449 315 449H321Q384 449 413 422T442 360Q442 332 424 313Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(474,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(863,0)”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1224,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> como a posição no espaço de fase em função do tempo, explique por que o sistema acima nos diz que a velocidade é função apenas da posição no espaço de fase.</div>
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“3.649ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 1613 1000”><title>r(t)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D42B” d=“M405 293T374 293T324 312T305 361Q305 378 312 394Q315 397 315 399Q305 399 294 394T266 375T238 329T222 249Q221 241 221 149V62H308V0H298Q280 3 161 3Q47 3 38 0H29V62H98V210V303Q98 353 96 363T83 376Q69 380 42 380H29V442H32L118 446Q204 450 205 450H210V414L211 378Q247 449 315 449H321Q384 449 413 422T442 360Q442 332 424 313Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(474,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(863,0)”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1224,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> como a posição no espaço de fase em função do tempo, explique por que o sistema acima nos diz que a velocidade é função apenas da posição no espaço de fase.</div>
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<html><head></head><body><div>Se <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.486ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“6.626ex” height=“2.106ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -716 2928.7 931”><title>t1 != t0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msub”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(394,-150) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1075.3,0)”><path data-c=“2260” d=“M166 -215T159 -215T147 -212T141 -204T139 -197Q139 -190 144 -183L306 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H327L406 327H72Q56 332 56 347Q56 360 70 367H426Q597 702 602 707Q605 716 618 716Q625 716 630 712T636 703T638 696Q638 692 471 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L451 327L371 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H351Q175 -210 170 -212Q166 -215 159 -215Z”></path></g><g data-mml-node=“msub” transform=“translate(2131.1,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(394,-150) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>, pode-se garantir que existam constantes <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“10.091ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 4460.3 1000”><title>r(t1) = r0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D42B” d=“M405 293T374 293T324 312T305 361Q305 378 312 394Q315 397 315 399Q305 399 294 394T266 375T238 329T222 249Q221 241 221 149V62H308V0H298Q280 3 161 3Q47 3 38 0H29V62H98V210V303Q98 353 96 363T83 376Q69 380 42 380H29V442H32L118 446Q204 450 205 450H210V414L211 378Q247 449 315 449H321Q384 449 413 422T442 360Q442 332 424 313Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(640.7,0)”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“msub” transform=“translate(389,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(394,-150) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1186.6,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2494,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“msub” transform=“translate(3549.8,0)”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D42B” d=“M405 293T374 293T324 312T305 361Q305 378 312 394Q315 397 315 399Q305 399 294 394T266 375T238 329T222 249Q221 241 221 149V62H308V0H298Q280 3 161 3Q47 3 38 0H29V62H98V210V303Q98 353 96 363T83 376Q69 380 42 380H29V442H32L118 446Q204 450 205 450H210V414L211 378Q247 449 315 449H321Q384 449 413 422T442 360Q442 332 424 313Z”></path></g></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(507,-150) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> ? Por que?</div>
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