Use a Regra da Cadeia para achar dïdt ou dan dth.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
, onde
e
. O objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia nos ajuda a diferenciar funções compostas, ou seja, funções que dependem de outras funções.
Passo 2
Vamos identificar as funções envolvidas. Aqui,
depende de
e
, e
e
dependem de
e
, respectivamente. Porém, como queremos a derivada em relação a
, vamos nos concentrar em como
varia com
através de
.
Passo 3
Primeiro, vamos escrever
em termos de
substituindo
por
:
Agora, como
, podemos reescrever
como:
Passo 4
Para encontrar
, usamos a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia nos diz que:
Vamos encontrar cada uma dessas derivadas separadamente.
Passo 5
Primeiro, calculemos
. Sabemos que:
Derivando
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
. Sabemos que:
Derivando
em relação a
:
Passo 7
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia multiplicando as duas derivadas que encontramos:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: