Use a Regra da Cadeia para achar dïdt ou dan dth.
z = cos(x + 4y), x = 5r^2, y = 1/t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função , onde e . O objetivo é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , usando a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia nos ajuda a diferenciar funções compostas, ou seja, funções que dependem de outras funções.

Passo 2

Vamos identificar as funções envolvidas. Aqui, depende de e , e e dependem de e , respectivamente. Porém, como queremos a derivada em relação a , vamos nos concentrar em como varia com através de .

Passo 3

Primeiro, vamos escrever em termos de substituindo por :
Agora, como , podemos reescrever como:

Passo 4

Para encontrar , usamos a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia nos diz que:
Vamos encontrar cada uma dessas derivadas separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculemos . Sabemos que:
Derivando em relação a :

Passo 6

Agora, vamos calcular . Sabemos que:
Derivando em relação a :

Passo 7

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia multiplicando as duas derivadas que encontramos:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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