Determine as derivadas parciais indicadas. f(x, y, z)=e^x y z^2, partial^3 fpartial z partial y partial x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente precisa encontrar a derivada parcial terceira de em relação a , depois , e por último . Isso envolve usar regras de derivação para funções com várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x ( e^x y z^2 ) = y z^2 cdot e^x y z^2 em relação a . Lembre-se que, ao derivar com respeito a , tratamos e como constantes.
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a , onde .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial, derivando a expressão que obtivemos em relação a partial^2 fpartial y partial x = partialpartial y ( y z^2 e^x y z^2 ) :
= z^2 e^x y z^2 + y z^2 cdot ( x z^2 e^x y z^2 )
Aqui, aplicamos a regra do produto, já que temos = z^2 e^x y z^2 (1 + x y z^2) multiplicando :

Passo 4

Finalmente, vamos encontrar a terceira derivada parcial, derivando a expressão obtida em relação a partial^3 fpartial z partial y partial x = partialpartial z ( z^2 e^x y z^2 (1 + x y z^2) ) :
= 2 z e^x y z^2 (1 + x y z^2) + z^2 cdot partialpartial z ( e^x y z^2 (1 + x y z^2) )
Vamos aplicar a regra do produto novamente. Primeiro, derivamos = 2 z e^x y z^2 (1 + x y z^2) + z^2 ( e^x y z^2 (2 x y z) + e^x y z^2 (x y cdot 2 z) ) :
= 2 z e^x y z^2 (1 + x y z^2) + z^2 e^x y z^2 (4 x y z)
Agora, derivamos o segundo fator dentro dos parênteses:
= 2 z e^x y z^2 (1 + x y z^2) + 4 x y z^3 e^x y z^2
= e^x y z^2 (2 z (1 + x y z^2) + 4 x y z^3)
= e^x y z^2 (2 z + 2 x y z^3 + 4 x y z^3)
= e^x y z^2 (2 z + 6 x y z^3)

Resposta

A derivada parcial terceira é:
partial^3 fpartial z partial y partial x = e^x y z^2 (2 z + 6 x y z^3)

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