Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente precisa encontrar a derivada parcial terceira de
em relação a
, depois
, e por último
. Isso envolve usar regras de derivação para funções com várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. Lembre-se que, ao derivar com respeito a
, tratamos
e
como constantes.
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
, onde
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial, derivando a expressão que obtivemos em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra do produto, já que temos
multiplicando
:
Passo 4
Finalmente, vamos encontrar a terceira derivada parcial, derivando a expressão obtida em relação a
:
Vamos aplicar a regra do produto novamente. Primeiro, derivamos
:
Agora, derivamos o segundo fator dentro dos parênteses:
Resposta
A derivada parcial terceira é: