Se t1 != t0, pode-se garantir que existam constantes c1 e c2 tais que c1 * r1(t) + c2 * r2(t) seja a solução do PVI correspondente ao sistema acima e à condição inicial r(t1) = r0 ? Por que?

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado está perguntando se, quando é diferente de , dá para garantir que existam constantes e tais que a combinação seja uma solução do Problema de Valor Inicial (PVI) correspondente ao sistema dado e à condição inicial . Basicamente, queremos saber se conseguimos ajustar essas constantes para que a solução atenda à condição inicial em um tempo específico, diferente de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um Problema de Valor Inicial (PVI). É um problema onde procuramos uma solução para uma equação diferencial que também satisfaz uma condição inicial dada. No nosso caso, temos um sistema de equações e queremos que a solução passe pelo ponto no tempo .

Passo 3

Sabemos que, para sistemas lineares homogêneos, as soluções podem ser combinadas linearmente. Isso significa que qualquer combinação também será uma solução do sistema, desde que e sejam soluções fundamentais.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a condição inicial . Substituindo na combinação linear, temos:
Isso nos dá um sistema de equações para encontrar e .

Passo 5

Para resolver esse sistema, precisamos que as soluções e sejam linearmente independentes no tempo . Se forem, podemos sempre encontrar e únicos que satisfazem a condição inicial.

Passo 6

Contudo, se , não há garantia geral de que exista tal combinação que atenda à condição inicial, a menos que as soluções fundamentais sejam escolhidas de maneira apropriada para garantir a cobertura de todas as condições iniciais possíveis.

Resposta

Não, quando , não podemos garantir sempre a existência de constantes e que façam ser solução do PVI com a condição inicial , porque a escolha das constantes depende da independência linear das soluções no tempo e nem sempre essa combinação atenderá a condição inicial desejada.

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