Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
onde a fronteira
da região
está orientada pelo vetor normal exterior.
(a)
, e
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para testar o teorema de Gauss. A gente tem um campo vetorial
e uma região
que é uma esfera de raio
, definida por
. O teorema de Gauss relaciona a integral de fluxo do campo vetorial na fronteira da região com a integral tripla da divergência desse campo dentro da região. Para resolver, vamos precisar calcular:
- A divergência de
. - A integral tripla da divergência sobre
. - A integral de fluxo de
na fronteira de .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência de
, denotada por
, é dada por:
Aplicando isso ao nosso
:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência sobre a região
. Em coordenadas esféricas, onde
,
,
, e o volume elementar é
, temos:
Simplificando:
Calculando cada parte:
Multiplicando tudo:
Então, a integral tripla da divergência é 0.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de fluxo do campo
na fronteira de
, que é a superfície da esfera de raio
. A integral de fluxo é dada por:
Em coordenadas esféricas, o vetor normal
na superfície da esfera é
, onde
é o vetor unitário radial. Primeiro, expressamos
na superfície da esfera:
Para calcular
:
Então:
Simplificando:
Integrando sobre a superfície:
Note que devido à simetria, a segunda parte da integral envolvendo
também resultará em 0 após a integração, assim como a primeira parte.
Portanto:
Resposta
As duas integrais resultaram em 0, ou seja,
Isso confirma que o teorema de Gauss é válido para o campo
na região
.
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e
ordem das funções:
Demonstrar as seguintes identidades:
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