Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
integralpartial Omega F cdot d S=integral triplaOmega div F d x d y d z=integral triplaOmega nabla cdot F d x d y d z,
onde a fronteira partial B da região Omega subset R^3 está orientada pelo vetor normal exterior.
(a) F(x, y, z)=(x z, y z, x^2), e B: x^2+y^2+z^2 <= a^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para testar o teorema de Gauss. A gente tem um campo vetorial e uma região que é uma esfera de raio , definida por . O teorema de Gauss relaciona a integral de fluxo do campo vetorial na fronteira da região com a integral tripla da divergência desse campo dentro da região. Para resolver, vamos precisar calcular:
  1. A divergência de .
  2. A integral tripla da divergência sobre .
  3. A integral de fluxo de na fronteira de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência de partial (xz)partial x = z, partial (yz)partial y = z, partial (x^2)partial z = 0 , denotada por nabla cdot F = z + z + 0 = 2z , é dada por:
Aplicando isso ao nosso :
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência sobre a região integral triplaB nabla cdot F , dV = integral triplaB 2z , dV = 2 integral triplaB rcostheta cdot r^2sintheta , dr , dtheta , dphi . Em coordenadas esféricas, onde 2 integral0^a r^3 , dr integral0^pi costheta sintheta , dtheta integral0^2pi dphi , integral0^a r^3 , dr = a^44, integral0^pi costheta sintheta , dtheta = 12 [ sin^2theta ]0^pi = 0, integral0^2pi dphi = 2pi , 2 cdot a^44 cdot 0 cdot 2pi = 0 , e o volume elementar é , temos:
Simplificando:
Calculando cada parte:
Multiplicando tudo:
Então, a integral tripla da divergência é 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de fluxo do campo integralpartial B F cdot dS na fronteira de F = (xz, yz, x^2) = (asinthetacosphi cdot acostheta, asinthetasinphi cdot acostheta, (asinthetacosphi)^2) , que é a superfície da esfera de raio r = ( sinthetacosphi, sinthetasinphi, costheta ) . A integral de fluxo é dada por:
F cdot r = a^2sinthetacosphi cdot sinthetacosphi cdot costheta + a^2sinthetasinphi cdot sinthetasinphi cdot costheta + a^2sin^2thetacos^2phi cdot costheta
Em coordenadas esféricas, o vetor normal F cdot r = a^2costheta sin^2theta (cos^2phi + sin^2phi) + a^2sin^2thetacos^2phi costheta = a^2costheta sin^2theta + a^2sin^2thetacos^2phi costheta na superfície da esfera é integral0^2pi integral0^pi ( a^2costheta sin^2theta + a^2sin^2thetacos^2phi costheta ) a^2sintheta , dtheta , dphi , onde integralpartial B F cdot dS = 0 é o vetor unitário radial. Primeiro, expressamos na superfície da esfera:
Para calcular :
Então:
Simplificando:
Integrando sobre a superfície:
Note que devido à simetria, a segunda parte da integral envolvendo também resultará em 0 após a integração, assim como a primeira parte.
Portanto:

Resposta

As duas integrais resultaram em 0, ou seja,
integralpartial Omega F cdot d S = integral triplaOmega nabla cdot F , d V = 0
Isso confirma que o teorema de Gauss é válido para o campo na região .

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