Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
onde a fronteira da região está orientada pelo vetor normal exterior.
(a) , e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para testar o teorema de Gauss. A gente tem um campo vetorial e uma região que é uma esfera de raio , definida por . O teorema de Gauss relaciona a integral de fluxo do campo vetorial na fronteira da região com a integral tripla da divergência desse campo dentro da região. Para resolver, vamos precisar calcular:
  1. A divergência de .
  2. A integral tripla da divergência sobre .
  3. A integral de fluxo de na fronteira de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência de , denotada por , é dada por:
Aplicando isso ao nosso :
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência sobre a região . Em coordenadas esféricas, onde , , , e o volume elementar é , temos:
Simplificando:
Calculando cada parte:
Multiplicando tudo:
Então, a integral tripla da divergência é 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de fluxo do campo na fronteira de , que é a superfície da esfera de raio . A integral de fluxo é dada por:
Em coordenadas esféricas, o vetor normal na superfície da esfera é , onde é o vetor unitário radial. Primeiro, expressamos na superfície da esfera:
Para calcular :
Então:
Simplificando:
Integrando sobre a superfície:
Note que devido à simetria, a segunda parte da integral envolvendo também resultará em 0 após a integração, assim como a primeira parte.
Portanto:

Resposta

As duas integrais resultaram em 0, ou seja,
Isso confirma que o teorema de Gauss é válido para o campo na região .

Exercícios relacionados

Explique, com suas palavras, o que o resultado anterior significa!
Determine as derivadas parciais de e ordem das funções:

Demonstrar as seguintes identidades:
Demonstrar as seguintes identidades: