Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e precisamos encontrar suas derivadas parciais de primeira ordem. Isso faz parte do estudo de Derivadas Parciais, onde a gente olha como a função muda quando variamos uma variável de cada vez, mantendo as outras constantes. Para resolver, vamos usar algumas regras de diferenciação como a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
e
como constantes.
A função é
. Ao derivar em relação a
,
é uma constante multiplicada por
. A derivada de
é 1, então:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
, ou seja,
. Aqui,
e
são constantes.
Temos
. Vamos aplicar a Regra do Produto, já que temos
multiplicando
:
Agora, precisamos derivar
em relação a
. Usamos a Regra da Cadeia:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 4
Por último, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui,
e
são constantes.
A função é
. Como
é constante em relação a
, usamos a Regra da Cadeia para derivar
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Estude as funções abaixo quanto a pontos extremos:
(b) ;
(b)
A temperatura num ponto
do plano
é dada por
.
a) Calcule a derivada direcional no ponto , no sentido que faz um ângulo de 45 com o semi-eixo positivo dos
.
a) Calcule a derivada direcional no ponto
Determine o valor dos limites, quando existirem:
b)
b)