Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e precisamos encontrar suas derivadas parciais de primeira ordem. Isso faz parte do estudo de Derivadas Parciais, onde a gente olha como a função muda quando variamos uma variável de cada vez, mantendo as outras constantes. Para resolver, vamos usar algumas regras de diferenciação como a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes.
A função é . Ao derivar em relação a , é uma constante multiplicada por . A derivada de é 1, então:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a , ou seja, . Aqui, e são constantes.
Temos . Vamos aplicar a Regra do Produto, já que temos multiplicando :
Agora, precisamos derivar em relação a . Usamos a Regra da Cadeia:
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 4

Por último, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, e são constantes.
A função é . Como é constante em relação a , usamos a Regra da Cadeia para derivar :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

Exercícios relacionados

Estude as funções abaixo quanto a pontos extremos:
(b) ;
A temperatura num ponto do plano é dada por .
a) Calcule a derivada direcional no ponto , no sentido que faz um ângulo de 45 com o semi-eixo positivo dos .
Determine o valor dos limites, quando existirem:
b)