Estude as funções abaixo quanto a pontos extremos:
(b)
;
(b)
Passo 1
Beleza! Vamos analisar a função
. Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos extremos dessa função, ou seja, os pontos onde a função tem máximos ou mínimos. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para encontrar onde as inclinações da função são zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável muda enquanto a outra fica fixa.
Vamos começar com a derivada parcial em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos (onde podem estar os extremos), igualamos as derivadas parciais a zero:
Da equação (1), temos:
Passo 4
Substituímos
na equação (2):
Como
, então
.
Passo 5
Agora sabemos que o único ponto crítico é
. Para confirmar se esse ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela, usamos a segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas parciais:
Passo 6
Avaliar as segundas derivadas no ponto
:
O discriminante
é dado por:
Quando
, o teste não é conclusivo. Então, precisamos de outra abordagem.
Passo 7
Observando a função
, vemos que ambos os termos são elevados a uma potência par, o que significa que s��o sempre não negativos. A soma de não negativos é mínima quando cada termo é zero:
Portanto,
é um ponto mínimo global da função.
Resposta
O ponto extremo da função
é um mínimo global no ponto
.
Exercícios relacionados
A temperatura num ponto
do plano
é dada por
.
a) Calcule a derivada direcional no ponto , no sentido que faz um ângulo de 45 com o semi-eixo positivo dos
.
a) Calcule a derivada direcional no ponto
Ache o valor absoluto da derivada direcional em
da função
na direção normal, em
, à superfície
.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
.