Estude as funções abaixo quanto a pontos extremos:
(b) ;

Passo 1

Beleza! Vamos analisar a função . Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos extremos dessa função, ou seja, os pontos onde a função tem máximos ou mínimos. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para encontrar onde as inclinações da função são zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável muda enquanto a outra fica fixa.
Vamos começar com a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos (onde podem estar os extremos), igualamos as derivadas parciais a zero:
Da equação (1), temos:

Passo 4

Substituímos na equação (2):
Como , então .

Passo 5

Agora sabemos que o único ponto crítico é . Para confirmar se esse ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela, usamos a segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas parciais:

Passo 6

Avaliar as segundas derivadas no ponto :
O discriminante é dado por:
Quando , o teste não é conclusivo. Então, precisamos de outra abordagem.

Passo 7

Observando a função , vemos que ambos os termos são elevados a uma potência par, o que significa que s��o sempre não negativos. A soma de não negativos é mínima quando cada termo é zero:
Portanto, é um ponto mínimo global da função.

Resposta

O ponto extremo da função é um mínimo global no ponto .

Exercícios relacionados

A temperatura num ponto do plano é dada por .
a) Calcule a derivada direcional no ponto , no sentido que faz um ângulo de 45 com o semi-eixo positivo dos .
Ache o valor absoluto da derivada direcional em da função na direção normal, em , à superfície .
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
.