A temperatura num ponto (x, y) do plano x y é dada por T = y / (x^2 + y^2).
a) Calcule a derivada direcional no ponto 1,2, no sentido que faz um ângulo de 45 com o semi-eixo positivo dos x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a temperatura em um ponto (x, y) do plano xy, dada por:
Queremos calcular a derivada direcional dessa função no ponto , na direção que faz um ângulo de 45 graus com o semi-eixo positivo dos x. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e derivadas direcionais. Além disso, vamos precisar determinar o vetor unitário que representa a direção de 45 graus.

Passo 2

Vamos começar encontrando as derivadas parciais da função T em relação a x e a y. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando alteramos um dos parâmetros mantendo o outro constante.
Primeiro, derivamos T em relação a x:
Em seguida, derivamos T em relação a y:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto específico . Substituindo x = 1 e nas expressões encontradas:
Para :
Para :

Passo 4

Em seguida, precisamos determinar o vetor de direção que faz um ângulo de 45 graus com o semi-eixo positivo dos x. Sabemos que as coordenadas de um vetor unitário que faz um ângulo theta com o eixo x são dadas por . Para :

Passo 5

Agora, podemos calcular a derivada direcional usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A derivada direcional da temperatura no ponto na direção que faz 45 graus com o eixo positivo dos x é:

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