A temperatura num ponto do plano é dada por .
a) Calcule a derivada direcional no ponto , no sentido que faz um ângulo de 45 com o semi-eixo positivo dos .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a temperatura em um ponto do plano , dada por:
Queremos calcular a derivada direcional dessa função no ponto , na direção que faz um ângulo de 45 graus com o semi-eixo positivo dos . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e derivadas direcionais. Além disso, vamos precisar determinar o vetor unitário que representa a direção de 45 graus.
Passo 2
Vamos começar encontrando as derivadas parciais da função em relação a e a . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando alteramos um dos parâmetros mantendo o outro constante.
Primeiro, derivamos em relação a :
Em seguida, derivamos em relação a :
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto específico . Substituindo e nas expressões encontradas:
Para :
Para :
Passo 4
Em seguida, precisamos determinar o vetor de direção que faz um ângulo de 45 graus com o semi-eixo positivo dos . Sabemos que as coordenadas de um vetor unitário que faz um ângulo com o eixo são dadas por . Para :
Passo 5
Agora, podemos calcular a derivada direcional usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada direcional da temperatura no ponto na direção que faz 45 graus com o eixo positivo dos é: