Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
(i) f(x, y) = raiz_cubica(x^4 + y^2 + 5)

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso envolve um pouco de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que são usadas quando uma função tem mais de uma variável. Vamos precisar conhecer as regras de derivação, como a regra do poder e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Lembrando que é o mesmo que , onde . Então, temos:

Passo 3

Vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por . Para isso, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por . Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é .

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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