Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
(i)
(i)
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso envolve um pouco de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que são usadas quando uma função tem mais de uma variável. Vamos precisar conhecer as regras de derivação, como a regra do poder e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Lembrando que
é o mesmo que
, onde
. Então, temos:
Passo 3
Vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Para isso, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são: