Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais, que é uma parte da matemática que estuda como uma função muda em relação a cada uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos e como constantes.
A função é .
Usamos a regra do produto para derivar em relação a :
Sabemos que e .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes.
A função é .
Como está multiplicando uma constante em relação a , a derivada é simplesmente:

Passo 4

Por último, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, e são constantes.
A função é .
Aplicamos a regra da cadeia para derivar em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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Sejam e conjuntos. Prove as seguintes proposições: .
Uma escada de 13 m está apoiada em uma parede. A escada começa a escorregar, de modo que o pé da escada se distancia da parede a uma velocidade de . Calcule a velocidade com que o topo da escada se aproxima do solo quando este está a 5 m de altura.