Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais, que é uma parte da matemática que estuda como uma função muda em relação a cada uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
e
como constantes.
A função é
.
Usamos a regra do produto para derivar em relação a
:
Sabemos que
e
.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
e
como constantes.
A função é
.
Como
está multiplicando uma constante em relação a
, a derivada é simplesmente:
Passo 4
Por último, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui,
e
são constantes.
A função é
.
Aplicamos a regra da cadeia para derivar
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Mostre que
é contínua em
:
Sejam
e
conjuntos. Prove as seguintes proposições:
.
Uma escada de 13 m está apoiada em uma parede. A escada começa a escorregar, de modo que o pé da escada se distancia da parede a uma velocidade de
. Calcule a velocidade com que o topo da escada se aproxima do solo quando este está a 5 m de altura.