Mostre que
é contínua em
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a função
é contínua em todo o intervalo dos números reais. A função está definida de duas formas diferentes dependendo do valor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e verificar se não tem nenhum “pulo” na função em todo o domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela existe nesse ponto e é igual ao valor da função naquele ponto. Ou seja, não pode ter quebras, saltos ou buracos no gráfico da função.
Passo 3
Nossa função
é definida de duas formas:
Vamos analisar cada parte separadamente.
Passo 4
As funções
e
são funções trigonométricas conhecidas por serem contínuas em todo o conjunto dos números reais. Então, para todo
que seja menor que
,
é contínua, e para todo
maior ou igual a
,
também é contínua.
Passo 5
Agora, precisamos verificar o ponto onde a definição da função muda, ou seja, em
. Para garantir a continuidade nesse ponto, o limite da função quando
se aproxima de
pela esquerda deve ser igual ao valor da função em
.
Passo 6
Vamos calcular o limite pela esquerda:
E o valor da função em
é:
Como os dois valores são iguais, a função não tem nenhum “pulo” em
.
Resposta
Portanto, a função
é contínua em todo o intervalo
.