Mostre que f é contínua em (-infinito, infinito): f(x) = { sen(x) se x < pi/4, cos(x) se x ≥ pi/4 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a função é contínua em todo o intervalo dos números reais. A função está definida de duas formas diferentes dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e verificar se não tem nenhum “pulo” na função em todo o domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela existe nesse ponto e é igual ao valor da função naquele ponto. Ou seja, não pode ter quebras, saltos ou buracos no gráfico da função.

Passo 3

Nossa função é definida de duas formas:
Vamos analisar cada parte separadamente.

Passo 4

As funções e são funções trigonométricas conhecidas por serem contínuas em todo o conjunto dos números reais. Então, para todo que seja menor que , é contínua, e para todo maior ou igual a , também é contínua.

Passo 5

Agora, precisamos verificar o ponto onde a definição da função muda, ou seja, em . Para garantir a continuidade nesse ponto, o limite da função quando se aproxima de pela esquerda deve ser igual ao valor da função em .

Passo 6

Vamos calcular o limite pela esquerda:
E o valor da função em é:
Como os dois valores são iguais, a função não tem nenhum “pulo” em .

Resposta

Portanto, a função é contínua em todo o intervalo .

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