Uma escada de 13 m está apoiada em uma parede. A escada começa a escorregar, de modo que o pé da escada se distancia da parede a uma velocidade de . Calcule a velocidade com que o topo da escada se aproxima do solo quando este está a 5 m de altura.

Passo 1

Vamos resolver um problema de taxas relacionadas na Matemática, mais especificamente em Cálculo. O enunciado fala sobre uma escada que está escorregando e nos pede para encontrar a velocidade com que o topo da escada está descendo quando a altura do topo está a 5 metros do chão. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema de Pitágoras e derivadas para relacionar as taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a situação com variáveis. Seja a distância do pé da escada à parede e a altura do topo da escada em relação ao solo. Sabemos que a escada tem comprimento constante de 13 metros, então pelo Teorema de Pitágoras temos:

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a velocidade com que o topo da escada está descendo, ou seja, , quando metros. Sabemos que .

Passo 4

Vamos derivar a equação em relação ao tempo :
Simplificando:

Passo 5

Queremos encontrar , então isolamos essa derivada:

Passo 6

Quando metros, vamos encontrar usando o Teorema de Pitágoras:

Passo 7

Agora substituímos os valores na equação da derivada:

Resposta

A velocidade com que o topo da escada se aproxima do solo é de .

Exercícios relacionados

Sejam e conjuntos. Prove as seguintes proposições: .
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Determine as derivadas das funções abaixo utilizando a regra de derivação da função inversa:
Seja uma função duas vezes derivável em , e considere a função
chamada de polinômio de Taylor de ordem 2 de em torno de . O erro da aproximação de por é . Mostre que