Uma escada de 13 m está apoiada em uma parede. A escada começa a escorregar, de modo que o pé da escada se distancia da parede a uma velocidade de
. Calcule a velocidade com que o topo da escada se aproxima do solo quando este está a 5 m de altura.
Passo 1
Vamos resolver um problema de taxas relacionadas na Matemática, mais especificamente em Cálculo. O enunciado fala sobre uma escada que está escorregando e nos pede para encontrar a velocidade com que o topo da escada está descendo quando a altura do topo está a 5 metros do chão. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema de Pitágoras e derivadas para relacionar as taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a situação com variáveis. Seja
a distância do pé da escada à parede e
a altura do topo da escada em relação ao solo. Sabemos que a escada tem comprimento constante de 13 metros, então pelo Teorema de Pitágoras temos:
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a velocidade com que o topo da escada está descendo, ou seja,
, quando
metros. Sabemos que
.
Passo 4
Vamos derivar a equação
em relação ao tempo
:
Simplificando:
Passo 5
Queremos encontrar
, então isolamos essa derivada:
Passo 6
Quando
metros, vamos encontrar
usando o Teorema de Pitágoras:
Passo 7
Agora substituímos os valores na equação da derivada:
Resposta
A velocidade com que o topo da escada se aproxima do solo é de
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
conjuntos. Prove as seguintes proposições:
.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Determine as derivadas das funções abaixo utilizando a regra de derivação da função inversa:
Seja
uma função duas vezes derivável em
, e considere a função
chamada de polinômio de Taylor de ordem 2 de
em torno de
. O erro da aproximação de
por
é
. Mostre que