Sejam e conjuntos. Prove as seguintes proposições: .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos três conjuntos, , e , e queremos provar que a união de com a interseção de e é igual a , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de união ( ) e interseção ( ) de conjuntos, além de entender o que significa um conjunto ser igual a outro.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que . Isso quer dizer que qualquer elemento que está na união de com também está em .
Como fazemos isso?
  • Definição de União: Se um elemento está em , então ele está em ou em .
  • Se , claramente ele está em .
  • Se , então está tanto em quanto em . Mas, como ele está em , isso já garante que .
Então, em qualquer caso, está em . Portanto, .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que . Isso significa que todo elemento de também está na união de com .
Como fazemos isso?
  • Definição de União: Para qualquer elemento , como está em , automaticamente ele está em , já que a união inclui todos os elementos de .
Portanto, todo elemento de está em , ou seja, .

Resposta

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Mostre que é contínua em :
Uma escada de 13 m está apoiada em uma parede. A escada começa a escorregar, de modo que o pé da escada se distancia da parede a uma velocidade de . Calcule a velocidade com que o topo da escada se aproxima do solo quando este está a 5 m de altura.
Determine as derivadas das funções abaixo utilizando a regra de derivação da função inversa: