Sejam A, B e C conjuntos. Prove as seguintes proposições: A ∪ (A ∩ B) = A.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos três conjuntos, A, B e C, e queremos provar que a união de A com a interseção de A e B é igual a A, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de união ( ) e interseção ( ) de conjuntos, além de entender o que significa um conjunto ser igual a outro.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que . Isso quer dizer que qualquer elemento que está na união de A com A ∩ B também está em A.
Como fazemos isso?
  • Definição de União: Se um elemento x está em , então ele está em A ou em A ∩ B.
  • Se x em A, claramente ele está em A.
  • Se , então x está tanto em A quanto em B. Mas, como ele está em A, isso já garante que x em A.
Então, em qualquer caso, x está em A. Portanto, .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que . Isso significa que todo elemento de A também está na união de A com A ∩ B.
Como fazemos isso?
  • Definição de União: Para qualquer elemento x em A, como x está em A, automaticamente ele está em , já que a união inclui todos os elementos de A.
Portanto, todo elemento de A está em , ou seja, .

Resposta

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