Sejam
e
conjuntos. Prove as seguintes proposições:
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos três conjuntos,
,
e
, e queremos provar que a união de
com a interseção de
e
é igual a
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de união (
) e interseção (
) de conjuntos, além de entender o que significa um conjunto ser igual a outro.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
. Isso quer dizer que qualquer elemento que está na união de
com
também está em
.
Como fazemos isso?
- Definição de União: Se um elemento
está em , então ele está em ou em . - Se
, claramente ele está em . - Se
, então está tanto em quanto em . Mas, como ele está em , isso já garante que .
Então, em qualquer caso,
está em
. Portanto,
.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
. Isso significa que todo elemento de
também está na união de
com
.
Como fazemos isso?
- Definição de União: Para qualquer elemento
, como está em , automaticamente ele está em , já que a união inclui todos os elementos de .
Portanto, todo elemento de
está em
, ou seja,
.
Resposta
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Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Mostre que
é contínua em
:
Uma escada de 13 m está apoiada em uma parede. A escada começa a escorregar, de modo que o pé da escada se distancia da parede a uma velocidade de
. Calcule a velocidade com que o topo da escada se aproxima do solo quando este está a 5 m de altura.
Determine as derivadas das funções abaixo utilizando a regra de derivação da função inversa: